Hyperbelfunktionen

Studium

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2},\quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

$x$: reelle Zahl
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,71828
$\sinh x$: Sinus hyperbolicus von x
$\cosh x$: Kosinus hyperbolicus von x
$\tanh x$: Tangens hyperbolicus von x

Sinus und Kosinus hyperbolicus sind der ungerade und der gerade Anteil von eˣ, der Tangens hyperbolicus ihr Quotient.

Graphen von sinh, cosh und tanh; cosh ist symmetrisch zur y-Achse mit cosh 0 = 1, sinh und tanh sind punktsymmetrisch zum Ursprung

Erklärung

Die Hyperbelfunktionen werden aus der Exponentialfunktion gebildet. $\cosh x$ ist der gerade Anteil von $e^x$ , $\sinh x$ der ungerade Anteil; zusammen ergeben sie $\cosh x + \sinh x = e^x$ .

Eigenschaften:

$\sinh$ ist ungerade, streng monoton wachsend und bildet $\mathbb{R}$ auf $\mathbb{R}$ ab. $\sinh 0 = 0$ .
$\cosh$ ist gerade, hat bei $0$ das Minimum $\cosh 0 = 1$ und ist nie kleiner als $1$ .
$\tanh$ ist ungerade, streng monoton wachsend und hat die Werte in $(-1, 1)$ , mit den Asymptoten $y = \pm 1$ .

Der Name kommt daher, dass $(\cosh t, \sinh t)$ den rechten Ast der Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$ durchläuft, so wie $(\cos t, \sin t)$ den Einheitskreis. Ein frei durchhängendes Seil hat die Form $y = c \cdot \cosh\frac{x}{c}$ , die Kettenlinie.

Die Umkehrfunktionen heißen Areafunktionen, z.B. $\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ .

Beispiele

An der Stelle $x = 1$ :

\sinh 1 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1{,}1752,\quad \cosh 1 = \frac{e + e^{-1}}{2} \approx 1{,}5431,\quad \tanh 1 \approx 0{,}7616

Gesucht ist $x$ mit $\sinh x = \frac{3}{4}$ . Mit der Areafunktion:

x = \operatorname{arsinh} \tfrac{3}{4} = \ln\left(\tfrac{3}{4} + \sqrt{\tfrac{9}{16} + 1}\right) = \ln\left(\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{4}\right) = \ln 2

Typische Fehler

Die Vorzeichen in den Definitionen vertauschen. Bei $\cosh$ steht das Plus, deshalb ist $\cosh x \geq 1$ .
Die Regeln der trigonometrischen Funktionen ungeprüft übertragen. Es gilt $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ mit Minus, und $\sinh$ , $\cosh$ sind nicht periodisch.
$\cosh x = 0$ oder $\cosh x = \frac{1}{2}$ lösen wollen. Diese Gleichungen haben keine reelle Lösung.
$\sinh^{-1} x$ als $\frac{1}{\sinh x}$ lesen. Auf Taschenrechnern bezeichnet $\sinh^{-1}$ die Umkehrfunktion $\operatorname{arsinh}$ , der Kehrwert heißt $\operatorname{csch} x$ .

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