Ableitung der Wurzelfunktion

Oberstufe

f(x) = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: positive reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung der Quadratwurzel ist 1 geteilt durch das Doppelte der Wurzel, für alle positiven x.

Erklärung

Die Regel ist ein Sonderfall der Potenzregel: Mit $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ergibt sich

f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Die Wurzelfunktion ist zwar bei $x = 0$ definiert, dort aber nicht differenzierbar: Der Graph beginnt im Ursprung mit einer senkrechten Tangente. Deshalb gilt die Formel nur für $x > 0$ .

Allgemein gilt für die $n$ -te Wurzel: $\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ für $x > 0$ .

Beispiele

f(x) = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = 0{,}25

Mit der Kettenregel, für $x > -\frac{1}{2}$ :

f(x) = \sqrt{2x + 1} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}

Typische Fehler

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}\sqrt{x}$ schreiben. Die Wurzel gehört in den Nenner.
Bei $\sqrt{2x + 1}$ die innere Ableitung vergessen: $\frac{1}{2\sqrt{2x + 1}}$ ist falsch, richtig ist $\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ .
Die Ableitung bei $x = 0$ einsetzen. Dort ist der Nenner $0$ .

Ableitung der Wurzelfunktion