Ableitung des Tangens

Oberstufe

f(x) = \tan x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $k \in \mathbb{Z},$ $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Winkel im Bogenmaß, an dem der Kosinus nicht null ist
$k$: beliebige ganze Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Tangens ist 1 durch Kosinus zum Quadrat, gleichwertig 1 plus Tangens zum Quadrat.

Erklärung

Der Tangens ist an allen Stellen differenzierbar, an denen er definiert ist, also überall außer bei $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ . Dort hat der Graph senkrechte Asymptoten.

Beide Formen der Ableitung sind gleichwertig, wegen $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Da $\frac{1}{\cos^2 x} > 0$ ist, ist der Tangens auf jedem Intervall zwischen zwei Polstellen streng monoton wachsend. Die Form $1 + \tan^2 x$ ist praktisch, wenn man die Ableitung durch die Funktion selbst ausdrücken will, z.B. bei Differentialgleichungen oder der Ableitung des Arkustangens.

Herleitung

Mit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und der Quotientenregel:

(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}

Der Zähler ist $1$ . Teilt man stattdessen jeden Summanden einzeln durch $\cos^2 x$ , erhält man $1 + \tan^2 x$ .

Beispiele

An der Stelle $x = \frac{\pi}{4}$ ist $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ und $\tan x = 1$ :

f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 = 1 + 1^2

Mit der Kettenregel:

f(x) = \tan(3x) \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{3}{\cos^2(3x)}

Typische Fehler

$\frac{1}{\cos^2 x}$ mit $\frac{1}{\cos x^2}$ verwechseln. Quadriert wird der Funktionswert, nicht das Argument.
In der Quotientenregel das Minus von $(\cos x)' = -\sin x$ verlieren. Dann steht im Zähler $\cos^2 x - \sin^2 x$ statt $1$ .
Die Ableitung an Polstellen auswerten, z.B. bei $x = \frac{\pi}{2}$ .

Ableitung des Tangens