Formelfritz
Meine Listen

Integral von 1/x

Integral von 1/x

Oberstufe
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Voraussetzung: x≠0x \neq 0

xx
Integrationsvariable, ungleich 0
ln⁡\ln
natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
CC
Integrationskonstante

Eine Stammfunktion von 1/x ist der natürliche Logarithmus des Betrags von x.

12xy1eA = 11/x
Die Fläche unter dem Graphen von 1/x zwischen 1 und e hat den Inhalt ln e − ln 1 = 1

Erklärung

Die Potenzregel ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C versagt für n=−1n = -1, weil man durch 00 teilen müsste. Genau diese Lücke füllt der natürliche Logarithmus: Die Ableitung von ln⁡x\ln x ist 1x\frac{1}{x}.

Der Betrag sorgt dafür, dass die Formel auch für negative xx gilt. Für x<0x < 0 ist nach der Kettenregel

(ln⁡(−x))′=1−x⋅(−1)=1x\big(\ln(-x)\big)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}

Ein bestimmtes Integral über 1x\frac{1}{x} darf die Stelle 00 nicht enthalten. Beide Grenzen müssen also positiv oder beide negativ sein.

Beispiele

∫1e1x dx=[ln⁡∣x∣]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \left[\ln|x|\right]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1∫281x dx=ln⁡8−ln⁡2=ln⁡4≈1,3863\int_2^8 \frac{1}{x} \, dx = \ln 8 - \ln 2 = \ln 4 \approx 1{,}3863

Auf einem Intervall mit negativen Zahlen ist das Ergebnis negativ, weil der Graph dort unter der xx-Achse liegt:

∫−3−11x dx=ln⁡∣−1∣−ln⁡∣−3∣=0−ln⁡3≈−1,0986\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x} \, dx = \ln|-1| - \ln|-3| = 0 - \ln 3 \approx -1{,}0986

Typische Fehler

  • Die Potenzregel anwenden: x00\frac{x^0}{0} ist nicht definiert.
  • Den Betrag weglassen und dann den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen wollen.
  • Über die Stelle 00 hinweg integrieren, z.B. ∫−111x dx\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx. Dort ist 1x\frac{1}{x} nicht definiert, der Hauptsatz darf nicht angewendet werden.
  • ∫1x2 dx=ln⁡(x2)\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln(x^2) ist falsch. Hier hilft die Potenzregel: ∫x−2 dx=−1x+C\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C.

Verwandte Formeln