Integration durch Substitution

Studium

\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt

Voraussetzung: $g$ $stetig differenzierbar auf$ $[a, b],$ $f$ $stetig auf$ $g([a, b])$

$g$: innere Funktion, die durch t ersetzt wird
$g'$: Ableitung der inneren Funktion
$f$: äußere Funktion
$t$: neue Integrationsvariable, t = g(x)
$a, b$: ursprüngliche Grenzen; g(a) und g(b) sind die neuen Grenzen

Steht im Integranden eine verkettete Funktion mal ihrer inneren Ableitung, ersetzt man die innere Funktion durch eine neue Variable.

Erklärung

Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel. Sie passt, wenn der Integrand die Form $f\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$ hat, also eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung ihrer inneren Funktion.

Vorgehen:

Innere Funktion als neue Variable wählen: $t = g(x)$ .
Differential umrechnen: $\frac{dt}{dx} = g'(x)$ , also $dt = g'(x)\,dx$ .
Grenzen umrechnen: $x = a$ wird zu $t = g(a)$ , $x = b$ zu $t = g(b)$ .
Das neue Integral in $t$ berechnen.

Bei unbestimmten Integralen gibt es keine Grenzen. Dort setzt man am Ende $t = g(x)$ wieder ein (Rücksubstitution).

Ein konstanter Faktor, der in $g'(x)$ fehlt, lässt sich vor dem Integral ergänzen. Ein fehlender Faktor, der von $x$ abhängt, dagegen nicht.

Beispiele

Mit $t = x^2 + 1$ ist $dt = 2x\,dx$ . Die Grenzen werden $0^2 + 1 = 1$ und $1^2 + 1 = 2$ :

\int_0^1 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx = \int_1^2 t^3\,dt = \left[\frac{t^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 3{,}75

Mit $t = \sin x$ ist $dt = \cos x\,dx$ . Die Grenzen werden $\sin 0 = 0$ und $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ :

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x\,dx = \int_0^1 t^2\,dt = \frac{1}{3}

Mit $t = x^2$ ist $dt = 2x\,dx$ , also $x\,dx = \frac{1}{2}\,dt$ :

\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^t\,dt = \frac{e - 1}{2} \approx 0{,}8591

Typische Fehler

Die Grenzen nicht umrechnen und trotzdem in $t$ einsetzen. Entweder man substituiert die Grenzen mit, oder man setzt vor dem Einsetzen zurück.
$dx$ einfach durch $dt$ ersetzen, ohne den Faktor $g'(x)$ zu berücksichtigen.
Einen fehlenden Faktor mit $x$ „hineinmogeln": $\int e^{x^2}\,dx$ lässt sich so nicht lösen, weil der Faktor $x$ fehlt.

Integration durch Substitution