Fläche zwischen zwei Graphen

Oberstufe

A = \int_a^b \left| f(x) - g(x) \right| dx

Voraussetzung: $f, g$ $stetig auf$ $[a, b],$ $a < b$

$A$: Flächeninhalt zwischen den Graphen
$f, g$: die beiden Funktionen
$a, b$: Grenzen des Bereichs, oft Schnittstellen der Graphen

Die Fläche zwischen zwei Graphen ist das Integral über den Betrag der Differenz der beiden Funktionen.

Fläche A = 4,5 zwischen f(x) = x + 2 und g(x) = x² zwischen den Schnittstellen −1 und 2

Erklärung

Die Fläche zwischen zwei Graphen erhält man, indem man die Differenzfunktion $d(x) = f(x) - g(x)$ integriert. Liegt $f$ im ganzen Intervall oberhalb von $g$ , ist der Betrag nicht nötig: $A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ .

Vorgehen für eine eingeschlossene Fläche:

Schnittstellen bestimmen: $f(x) = g(x)$ lösen.
Zwischen je zwei benachbarten Schnittstellen die Differenz $f - g$ integrieren.
Die Beträge der Teilintegrale addieren.

Wo die Graphen sich schneiden, kann die obere Funktion zur unteren werden. Deshalb muss man an jeder Schnittstelle aufteilen. Ob die Graphen über oder unter der $x$ -Achse liegen, spielt dagegen keine Rolle.

Beispiele

Gesucht ist die Fläche zwischen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2$ . Aus $x^2 = x + 2$ folgt $x^2 - x - 2 = 0$ mit den Lösungen $x = -1$ und $x = 2$ . Dazwischen liegt die Gerade oben:

A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = 4{,}5

Die Graphen von $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$ schneiden sich bei $-1$ , $0$ und $1$ . Über das ganze Intervall integriert ergibt sich nur die Bilanz:

\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = 0

Teilt man bei $0$ auf, erhält man zwei gleich große Teilflächen:

A = 2 \int_0^1 (x - x^3)\,dx = 2 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 0{,}5

Typische Fehler

Über eine Schnittstelle hinweg integrieren. Im zweiten Beispiel erhält man dann $0$ statt $0{,}5$ .
Die Nullstellen von $f$ oder $g$ statt der Schnittstellen der beiden Graphen als Grenzen nehmen.
Ohne Betrag rechnen und ein negatives Ergebnis als Fläche angeben. Eine Fläche ist nie negativ.

Fläche zwischen zwei Graphen