Kurvendiskussion

Oberstufe

\begin{array}{ll} \text{Nullstellen:} & f(x) = 0 \\ \text{Extremkandidaten:} & f'(x) = 0 \\ \text{Wendekandidaten:} & f''(x) = 0 \end{array}

Voraussetzung: $f$ $auf dem Definitionsbereich ausreichend oft differenzierbar$

$f(x)$: die untersuchte Funktion
$f'(x)$: erste Ableitung, die Steigung des Graphen
$f''(x)$: zweite Ableitung, die Krümmung des Graphen

Eine Kurvendiskussion untersucht eine Funktion Schritt für Schritt auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und Verhalten.

Graph von f(x) = x³ − 6x² + 9x mit Hochpunkt H(1 | 4), Wendepunkt W(2 | 2) und Tiefpunkt T(3 | 0)

Erklärung

Bei einer Kurvendiskussion sammelt man alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion, um ihren Graphen skizzieren zu können. Ein bewährter Ablauf:

Definitionsbereich $D_f$ festlegen.
Symmetrie prüfen: achsensymmetrisch zur y-Achse bei $f(-x) = f(x)$ , punktsymmetrisch zum Ursprung bei $f(-x) = -f(x)$ .
Achsenschnittpunkte: y-Achsenabschnitt $f(0)$ , Nullstellen aus $f(x) = 0$ .
Ableitungen $f'$ , $f''$ und bei Bedarf $f'''$ bilden.
Extrempunkte: $f'(x) = 0$ lösen, mit $f''$ oder einem Vorzeichenwechsel von $f'$ prüfen, y-Werte mit $f$ berechnen.
Wendepunkte: $f''(x) = 0$ lösen, mit $f'''$ oder einem Vorzeichenwechsel von $f''$ prüfen.
Verhalten für $x \to \pm\infty$ und an Definitionslücken.
Monotonie und Krümmung in Intervallen angeben, dann den Graphen skizzieren.

Die y-Werte immer mit der Ausgangsfunktion $f$ berechnen, nicht mit einer Ableitung.

Beispiele

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ mit $D_f = \mathbb{R}$ .

Symmetrie: Es kommen gerade und ungerade Exponenten vor, also keine der beiden Standardsymmetrien.

Nullstellen: $f(x) = x(x - 3)^2 = 0$ ergibt $x = 0$ und die doppelte Nullstelle $x = 3$ . Der y-Achsenabschnitt ist $f(0) = 0$ .

Ableitungen: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ , $f''(x) = 6x - 12$ , $f'''(x) = 6$ .

Extrempunkte: $f'(x) = 0$ für $x = 1$ und $x = 3$ .

$f''(1) = -6 < 0$ , mit $f(1) = 4$ ist $H(1 \mid 4)$ ein Hochpunkt.
$f''(3) = 6 > 0$ , mit $f(3) = 0$ ist $T(3 \mid 0)$ ein Tiefpunkt.

Wendepunkt: $f''(x) = 0$ für $x = 2$ , und $f'''(2) = 6 \neq 0$ . Mit $f(2) = 2$ ist $W(2 \mid 2)$ der Wendepunkt.

Verhalten im Unendlichen: Der Term $x^3$ bestimmt das Verhalten. Für $x \to \infty$ gilt $f(x) \to \infty$ , für $x \to -\infty$ gilt $f(x) \to -\infty$ .

Monotonie: $f'(0) = 9$ , $f'(2) = -3$ , $f'(4) = 9$ . Also steigt $f$ auf $(-\infty, 1]$ , fällt auf $[1, 3]$ und steigt auf $[3, \infty)$ .

Krümmung: Für $x < 2$ ist $f''(x) < 0$ (Rechtskurve), für $x > 2$ ist $f''(x) > 0$ (Linkskurve).

Typische Fehler

Die y-Werte von Extrem- oder Wendepunkten in $f'$ oder $f''$ einsetzen statt in $f$ .
Nur die notwendige Bedingung prüfen. Ohne hinreichende Bedingung ist $f'(x_0) = 0$ noch kein Extremum.
Eine doppelte Nullstelle übersehen. Dort berührt der Graph die x-Achse nur, wie hier bei $x = 3$ .
Beim Ausklammern eine Nullstelle verlieren: Aus $x^3 - 6x^2 + 9x = 0$ folgt auch $x = 0$ , nicht nur die Lösungen von $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Kurvendiskussion