Lineare Substitution

Oberstufe

\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax + b) + C

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $F' = f$

$f$: äußere Funktion
$F$: eine Stammfunktion von f
$ax + b$: lineare innere Funktion mit Steigung a und Achsenabschnitt b
$C$: Integrationskonstante

Ist die innere Funktion linear, integriert man die äußere Funktion und teilt durch die Steigung der inneren.

Erklärung

Bei einer verketteten Funktion $f(ax + b)$ mit linearer innerer Funktion gibt es eine einfache Regel: Man bildet die Stammfunktion der äußeren Funktion, setzt $ax + b$ ein und teilt durch $a$ .

Der Faktor $\frac{1}{a}$ gleicht die innere Ableitung aus: Leitet man $F(ax + b)$ nach der Kettenregel ab, entsteht der Faktor $a$ . Teilt man vorher durch $a$ , bleibt genau $f(ax + b)$ übrig.

Die Regel ist ein Spezialfall der Integration durch Substitution. Sie gilt nur, wenn die innere Funktion linear ist.

Herleitung

Ableiten der rechten Seite mit der Kettenregel:

\left(\frac{1}{a}\,F(ax + b)\right)' = \frac{1}{a} \cdot f(ax + b) \cdot a = f(ax + b)

Beispiele

Äußere Funktion $t^4$ , innere Funktion $3x - 2$ :

\int (3x - 2)^4\,dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 2)^5}{5} + C = \frac{(3x - 2)^5}{15} + C

\int_0^1 e^{2x + 1}\,dx = \left[\frac{1}{2}\,e^{2x + 1}\right]_0^1 = \frac{e^3 - e}{2} \approx 8{,}6836

\int_0^{\frac{\pi}{8}} \cos(4x)\,dx = \left[\frac{1}{4}\sin(4x)\right]_0^{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{2} - 0 = \frac{1}{4}

\int_0^1 (2x + 1)^3\,dx = \left[\frac{(2x + 1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = 10

Typische Fehler

Mit $a$ multiplizieren statt durch $a$ teilen. Das wäre die Regel fürs Ableiten.
Den Faktor ganz vergessen: $\int e^{2x+1}\,dx = e^{2x+1} + C$ ist falsch.
Die Regel auf nichtlineare innere Funktionen übertragen: $\int e^{x^2}\,dx \neq \frac{e^{x^2}}{2x} + C$ . Für $e^{x^2}$ gibt es keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen.
$(2x + 1)^3$ erst umständlich ausmultiplizieren. Das geht, ist aber fehleranfällig.

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