Partialbruchzerlegung

Studium

\frac{p(x)}{(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)} = \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{x - x_2} + \dots + \frac{A_n}{x - x_n}

Voraussetzung: $x_1, \ldots, x_n$ $paarweise$ $verschieden$ $,$ $\operatorname{grad} p < n,$ $x \neq x_k$

$p(x)$: Zählerpolynom mit kleinerem Grad als der Nenner
$x_1, \ldots, x_n$: einfache reelle Nullstellen des Nenners
$A_1, \ldots, A_n$: konstante Koeffizienten der Partialbrüche
$x$: Variable, keine Nennernullstelle
$n$: Grad des Nenners

Ein echt gebrochenrationaler Ausdruck mit einfachen Nennernullstellen zerfällt in eine Summe von Brüchen A/(x − xₖ).

Erklärung

Die Partialbruchzerlegung schreibt einen gebrochenrationalen Ausdruck $\frac{p(x)}{q(x)}$ als Summe einfacher Brüche. Ihr Hauptzweck ist die Integration: Jeder Partialbruch hat eine bekannte Stammfunktion, z.B. $\int \frac{A}{x - x_k}\,dx = A \ln|x - x_k| + C$ .

Vorgehen:

Echt gebrochen machen. Ist $\operatorname{grad} p \geq \operatorname{grad} q$ , zuerst eine Polynomdivision durchführen.
Nenner faktorisieren.
Ansatz nach den Faktoren aufstellen.
Koeffizienten bestimmen: mit Hauptnenner multiplizieren, dann Nullstellen einsetzen oder einen Koeffizientenvergleich machen.

Bei einfachen Nullstellen liefert die Zuhaltemethode jeden Koeffizienten direkt: $A_k$ ist der Rest des Bruchs, wenn man den Faktor $(x - x_k)$ zuhält und $x = x_k$ einsetzt.

Ansatz für andere Faktoren:

Mehrfache Nullstelle $(x - a)^m$ : Brüche $\frac{B_1}{x - a} + \frac{B_2}{(x - a)^2} + \dots + \frac{B_m}{(x - a)^m}$ .
Quadratischer Faktor ohne reelle Nullstelle $x^2 + bx + c$ : ein Bruch $\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$ .

Beispiele

$\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}$ : Der Nenner ist $(x - 1)(x + 2)$ . Zuhalten von $(x - 1)$ und $x = 1$ ergibt $A_1 = \frac{6}{3} = 2$ , Zuhalten von $(x + 2)$ und $x = -2$ ergibt $A_2 = \frac{3}{-3} = -1$ :

\frac{x + 5}{x^2 + x - 2} = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}

Damit ist $\int_2^3 \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx = \bigl[2\ln|x - 1| - \ln|x + 2|\bigr]_2^3 = 2\ln 2 - \ln\frac{5}{4} \approx 1{,}1632$ .

Doppelte Nullstelle: Der Ansatz $\frac{1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$ liefert $B = 1$ (Zuhalten bei $x = 0$ ), $C = 1$ (bei $x = -1$ ) und aus dem Koeffizientenvergleich bei $x^2$ dann $A = -1$ :

\frac{1}{x^2(x + 1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1}

Quadratischer Faktor: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1}$ .

Typische Fehler

Bei unecht gebrochenen Ausdrücken die Polynomdivision vergessen. Für $\frac{x^2}{x^2 - 1}$ ist der Ansatz $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ falsch; zuerst $1 + \frac{1}{x^2 - 1}$ abspalten.
Bei einer doppelten Nullstelle nur $\frac{B}{(x - a)^2}$ ansetzen. Der Term $\frac{A}{x - a}$ muss dazu.
Bei einem quadratischen Faktor nur eine Konstante in den Zähler schreiben. Richtig ist $Bx + C$ .
Die Zuhaltemethode bei mehrfachen Nullstellen für alle Koeffizienten verwenden. Sie liefert nur den Koeffizienten der höchsten Potenz.

Partialbruchzerlegung