Quotientenregel

Oberstufe

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

Voraussetzung: $u, v$ $differenzierbar$ $,$ $v(x) \neq 0$

$u$: Zählerfunktion
$v$: Nennerfunktion, darf an der Stelle x nicht null sein
$u'(x), v'(x)$: Ableitungen von Zähler und Nenner
$f'(x)$: Ableitung des Quotienten

Einen Bruch leitet man ab mit Zähler abgeleitet mal Nenner minus Zähler mal Nenner abgeleitet, geteilt durch Nenner².

Erklärung

Mit der Quotientenregel leitet man Brüche ab, bei denen Zähler und Nenner von $x$ abhängen. Eine bekannte Merkhilfe ist „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat“: Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch das Quadrat des Nenners.

Die Ableitung existiert nur dort, wo der Nenner $v(x)$ nicht null ist. Diese Stellen gehören schon nicht zum Definitionsbereich von $f$ .

Steht im Zähler nur eine Konstante, ist es oft einfacher, den Bruch als Potenz zu schreiben und die Potenzregel zu nutzen: $\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ , also $f'(x) = -6x^{-3}$ .

Herleitung

Man bringt den Differenzenquotienten auf einen Nenner und ergänzt im Zähler $-u(x)v(x) + u(x)v(x)$ :

\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h} = \frac{\frac{u(x+h) - u(x)}{h} \cdot v(x) - u(x) \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{h}}{v(x+h) \cdot v(x)}

Für $h \to 0$ ergibt sich die Quotientenregel.

Beispiele

$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ für $x \neq 3$ , mit $u = 2x + 1$ , $u' = 2$ , $v = x - 3$ , $v' = 1$ :

f'(x) = \frac{2 \cdot (x - 3) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}

$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ mit $u = x$ , $u' = 1$ , $v = x^2 + 1$ , $v' = 2x$ :

f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}

Typische Fehler

Die Reihenfolge im Zähler vertauschen. $uv' - u'v$ liefert das falsche Vorzeichen, weil hier minus steht.
Das Quadrat im Nenner vergessen.
Zähler und Nenner einzeln ableiten: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}$ ist falsch.
Beim Ausmultiplizieren im Zähler die Klammer um $(2x + 1)$ weglassen, dann geht das Minus nur an den ersten Summanden.

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