Mittelwertsatz der Integralrechnung

Studium

\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi) \cdot (b - a) \quad \text{für ein } \xi \in [a, b]

Voraussetzung: $a < b,$ $f$ $stetig auf$ $[a, b]$

$f$: auf [a, b] stetige Funktion
$a, b$: Integrationsgrenzen
$\xi$: Zwischenstelle, an der f seinen Mittelwert annimmt
$x$: Integrationsvariable

Eine stetige Funktion nimmt ihren Mittelwert auf [a, b] an mindestens einer Stelle ξ an.

f(x) = sin x auf [0, π] mit dem Mittelwert 2/π, den f an den Stellen ξ₁ ≈ 0,69 und ξ₂ ≈ 2,45 annimmt; das gestrichelte Rechteck hat dieselbe Fläche wie die Fläche unter dem Graphen

Erklärung

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung sagt: Die Fläche unter dem Graphen einer stetigen Funktion ist gleich der Fläche eines Rechtecks mit Breite $b - a$ und Höhe $f(\xi)$ für eine geeignete Stelle $\xi$ .

Teilt man durch $b - a$ , steht dort der Mittelwert der Funktion:

\bar f = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)

Der Mittelwert wird also tatsächlich als Funktionswert angenommen. Das folgt aus dem Zwischenwertsatz, weil $\bar f$ zwischen Minimum und Maximum von $f$ auf $[a, b]$ liegt.

Verallgemeinerung mit Gewicht: Ist zusätzlich $g$ auf $[a, b]$ stetig und wechselt nicht das Vorzeichen (z.B. $g \geq 0$ ), dann gibt es ein $\xi \in [a, b]$ mit

\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = f(\xi) \int_a^b g(x)\,dx

Mit $f(x) = g(x) = x$ auf $[0, 1]$ ist die linke Seite $\frac{1}{3}$ und $\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$ , also $\xi = \frac{2}{3}$ .

Der Satz wird vor allem für Abschätzungen benutzt, z.B. um zu zeigen, dass $\int_x^{x+h} f(t)\,dt \approx f(x)\,h$ für kleine $h$ ist. Daraus folgt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Beispiele

$f(x) = x^2$ auf $[0, 3]$ : Das Integral ist $\frac{27}{3} = 9$ , der Mittelwert $\frac{9}{3} = 3$ . Aus $\xi^2 = 3$ folgt $\xi = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ .

$f(x) = \sin x$ auf $[0, \pi]$ : Das Integral ist $2$ , der Mittelwert $\frac{2}{\pi} \approx 0{,}6366$ . Er wird an zwei Stellen angenommen:

\xi_1 = \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 0{,}6901,\qquad \xi_2 = \pi - \xi_1 \approx 2{,}4515

Typische Fehler

Die Stetigkeit übergehen. Die Sprungfunktion mit $f = 0$ auf $[0, 1)$ und $f = 1$ auf $[1, 2]$ hat den Mittelwert $\frac{1}{2}$ , nimmt diesen Wert aber nirgends an.
In der Verallgemeinerung ein Gewicht mit Vorzeichenwechsel benutzen. Für $g(x) = x$ auf $[-1, 1]$ ist $\int g\,dx = 0$ . Mit $f(x) = x$ ist dann $\int_{-1}^{1} f g\,dx = \frac{2}{3}$ , die rechte Seite aber für jedes $\xi$ gleich $0$ .
Den Mittelwert mit dem Mittel der Randwerte $\frac{f(a) + f(b)}{2}$ verwechseln. Bei $x^2$ auf $[0, 3]$ wäre das $4{,}5$ statt $3$ .

Mittelwertsatz der Integralrechnung