Ableitung von f(x) hoch g(x)

Studium

\left(f(x)^{g(x)}\right)' = f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right)

Voraussetzung: $f, g$ $differenzierbar$ $,$ $f(x) > 0$

$f(x)$: Basis, eine positive differenzierbare Funktion
$g(x)$: Exponent, eine differenzierbare Funktion
$f'(x), g'(x)$: Ableitungen von Basis und Exponent
$\ln$: natürlicher Logarithmus

Hängen Basis und Exponent von x ab, schreibt man die Potenz als e-Funktion und leitet mit Ketten- und Produktregel ab.

Erklärung

Steht die Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten, passt weder die Potenzregel (fester Exponent) noch die Regel für Exponentialfunktionen (feste Basis). Man schreibt die Potenz dann mit der e-Funktion um:

f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}

Danach braucht man nur noch die Kettenregel für die e-Funktion und die Produktregel für den Exponenten $g(x) \ln f(x)$ . Die Voraussetzung $f(x) > 0$ ist nötig, damit $\ln f(x)$ definiert ist.

Gleichwertig ist das logarithmische Differenzieren: Man logarithmiert $y = f(x)^{g(x)}$ zu $\ln y = g(x) \ln f(x)$ und leitet beide Seiten ab.

Die Formel enthält zwei Sonderfälle: Ist $g$ konstant, ergibt sich die Potenzregel. Ist $f$ konstant, ergibt sich $(a^{g(x)})' = a^{g(x)} \cdot g'(x) \ln a$ .

Herleitung

Mit Kettenregel und Produktregel:

\left(e^{g(x) \ln f(x)}\right)' = e^{g(x) \ln f(x)} \cdot \left(g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right)

Der erste Faktor ist wieder $f(x)^{g(x)}$ .

Beispiele

Für $x > 0$ mit $f(x) = x$ und $g(x) = x$ :

(x^x)' = x^x \cdot \left(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = x^x (\ln x + 1)

An der Stelle $x = 2$ ist die Steigung $4(\ln 2 + 1) = 4 \ln 2 + 4 \approx 6{,}7726$ . Die Ableitung ist null, wenn $\ln x = -1$ , also bei $x = \frac{1}{e}$ .

Für $x > 0$ mit $f(x) = x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ :

\left(x^{\frac{1}{x}}\right)' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\right) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}

Die Ableitung ist null für $\ln x = 1$ , also $x = e$ . Dort hat $x^{\frac{1}{x}}$ ihr Maximum $e^{\frac{1}{e}} \approx 1{,}4447$ .

Typische Fehler

Die Potenzregel anwenden: $(x^x)' = x \cdot x^{x-1} = x^x$ ist falsch, der Summand $x^x \ln x$ fehlt.
Die Exponentialregel anwenden: $(x^x)' = x^x \ln x$ ist ebenfalls falsch, hier fehlt der Summand $x^x$ .
Beim Umschreiben den Logarithmus an die falsche Stelle setzen: $f^g = e^{g \ln f}$ , nicht $e^{f \ln g}$ .
Die Bedingung $f(x) > 0$ übersehen, z.B. bei $x^x$ für negative $x$ .

Ableitung von f(x) hoch g(x)