Bedingungen für Wendestellen

Oberstufe

f''(x_0) = 0 \;\wedge\; f'''(x_0) \neq 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ ist Wendestelle}

Voraussetzung: $f$ $dreimal$ $differenzierbar$ $,$ $x_0$ $im Inneren des Definitionsbereichs$

$x_0$: untersuchte Stelle
$f''(x_0)$: zweite Ableitung an der Stelle x₀, beschreibt die Krümmung
$f'''(x_0)$: dritte Ableitung an der Stelle x₀

Ist die zweite Ableitung null und die dritte ungleich null, wechselt der Graph dort seine Krümmung.

Graph von f(x) = x³ − 3x² + 2 mit dem Wendepunkt W(1 | 0) und der Wendetangente t(x) = −3x + 3

Erklärung

An einer Wendestelle wechselt der Graph seine Krümmung, von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder umgekehrt. Dort ist die Steigung lokal am größten oder am kleinsten, die zweite Ableitung hat also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Notwendige Bedingung: $f''(x_0) = 0$ .
Hinreichende Bedingung: zusätzlich $f'''(x_0) \neq 0$ , oder $f''$ wechselt an der Stelle $x_0$ das Vorzeichen.

$f'''(x_0) \neq 0$ ist hinreichend, aber nicht notwendig: Bei $f(x) = x^5$ ist $f'''(0) = 0$ , und trotzdem hat $f$ bei $0$ eine Wendestelle, weil $f''(x) = 20x^3$ dort das Vorzeichen wechselt.

Ist zusätzlich $f'(x_0) = 0$ , hat der Wendepunkt eine waagerechte Tangente. Er heißt dann Sattelpunkt oder Terrassenpunkt.

Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente.

Beispiele

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ mit $f'(x) = 3x^2 - 6x$ , $f''(x) = 6x - 6$ und $f'''(x) = 6$ .

$f''(x) = 0$ ergibt $x = 1$ , und $f'''(1) = 6 \neq 0$ . Mit $f(1) = 0$ ist $W(1 \mid 0)$ ein Wendepunkt. Wegen $f'(1) = -3$ lautet die Wendetangente

t(x) = -3 \cdot (x - 1) + 0 = -3x + 3

Bei $f(x) = x^3$ ist $f'(0) = 0$ , $f''(0) = 0$ und $f'''(0) = 6$ . Der Ursprung ist also ein Sattelpunkt.

Typische Fehler

Nur $f''(x_0) = 0$ prüfen. Bei $f(x) = x^4$ ist $f''(0) = 0$ , aber $f''(x) = 12x^2$ wechselt das Vorzeichen nicht, es gibt keinen Wendepunkt.
Aus $f'''(x_0) = 0$ schließen, dass keine Wendestelle vorliegt. Dann muss man den Vorzeichenwechsel von $f''$ prüfen, z.B. hat $x^5$ bei $0$ einen Wendepunkt.
Wendestelle und Extremstelle verwechseln. Für Extremstellen ist $f'$ null, für Wendestellen $f''$ .

Bedingungen für Wendestellen