Stetigkeit (ε-δ-Definition)

Studium

\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D\colon \\ |x - x_0| < \delta \\ \Rightarrow\; |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \end{gathered}

Voraussetzung: $f: D \to \mathbb{R},$ $D \subseteq \mathbb{R},$ $x_0 \in D$

$f$: Funktion mit Definitionsbereich D
$D$: Definitionsbereich von f
$x_0$: Stelle, an der die Stetigkeit geprüft wird
$x$: beliebige Stelle aus D in der Nähe von x₀
$\varepsilon$: vorgegebene Toleranz für die Funktionswerte
$\delta$: zugehörige Toleranz für die Stellen; hängt von ε (und meist von x₀) ab

f ist bei x₀ stetig, wenn kleine Änderungen von x nahe x₀ nur beliebig kleine Änderungen von f(x) bewirken.

f(x) = 3x + 1 bei x₀ = 1; alle x im δ-Streifen um x₀ (hier δ = ε/3 = 0,5) haben Funktionswerte im ε-Streifen um f(x₀) = 4

Erklärung

Eine Funktion ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn man $f(x)$ beliebig nahe an $f(x_0)$ bringen kann, indem man $x$ nur nahe genug an $x_0$ wählt. Zu jeder Toleranz $\varepsilon$ für die Funktionswerte muss es also eine Toleranz $\delta$ für die Stellen geben.

Gleichwertig ist das Folgenkriterium: $f$ ist bei $x_0$ stetig genau dann, wenn für jede Folge $x_n \to x_0$ in $D$ auch $f(x_n) \to f(x_0)$ gilt. Damit zeigt man Unstetigkeit oft leichter, weil eine einzige passende Folge genügt.

$f$ heißt stetig auf $D$ , wenn sie an jeder Stelle von $D$ stetig ist. Summen, Produkte, Quotienten (mit Nenner $\neq 0$ ) und Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig. Polynome, $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ und $\ln$ sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Beispiele

$f(x) = 3x + 1$ ist überall stetig. Es gilt $|f(x) - f(x_0)| = 3\,|x - x_0|$ . Mit $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ folgt aus $|x - x_0| < \delta$ sofort $|f(x) - f(x_0)| < 3\delta = \varepsilon$ .

$f(x) = x^2$ ist bei $x_0 = 2$ stetig. Man zerlegt $|x^2 - 4| = |x - 2| \cdot |x + 2|$ . Wählt man vorab $\delta \leq 1$ , liegt $x$ in $(1, 3)$ und damit $|x + 2| < 5$ . Also passt $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$ .

Für $\varepsilon = 0{,}1$ ergibt das $\delta = 0{,}02$ . Am Rand des Intervalls ist $2{,}02^2 - 4 = 0{,}0804$ und $|1{,}98^2 - 4| = 0{,}0796$ , beides kleiner als $0{,}1$ .

Die Vorzeichenfunktion $\operatorname{sgn}$ ist bei $0$ unstetig: Für $\varepsilon = \frac{1}{2}$ gibt es kein $\delta$ , denn für jedes noch so kleine $x > 0$ ist $|\operatorname{sgn}(x) - \operatorname{sgn}(0)| = 1$ .

Typische Fehler

$\delta$ unabhängig von $\varepsilon$ wählen oder $\delta$ von $x$ abhängig machen. $\delta$ darf nur von $\varepsilon$ und $x_0$ abhängen.
Bei nichtlinearen Funktionen den Faktor $|x + x_0|$ unbeschränkt lassen. Erst durch eine Vorab-Einschränkung wie $\delta \leq 1$ wird er abschätzbar.
Stetigkeit mit „Graph ohne Absetzen zeichenbar“ gleichsetzen. $f(x) = \frac{1}{x}$ ist auf ihrem Definitionsbereich $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ stetig, obwohl der Graph aus zwei Ästen besteht.
Stetigkeit an einer Stelle prüfen, die nicht in $D$ liegt. Bei $x_0 = 0$ ist $\frac{1}{x}$ weder stetig noch unstetig, sondern nicht definiert.

Stetigkeit (ε-δ-Definition)