Stammfunktion einer Potenzfunktion

Oberstufe

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Voraussetzung: $n \neq -1,$ $x^n$ $definiert; für$ $n < 0: x \neq 0$

$x$: Integrationsvariable
$n$: Exponent, eine reelle Zahl ungleich −1
$C$: Integrationskonstante, eine beliebige reelle Zahl
$\int \ldots \, dx$: unbestimmtes Integral, die Menge aller Stammfunktionen

Eine Stammfunktion von xⁿ erhält man, indem man den Exponenten um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten teilt.

Erklärung

Eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist eine Funktion mit $F'(x) = f(x)$ . Integrieren ist also das Gegenstück zum Ableiten. Für Potenzen gilt eine einfache Regel:

den Exponenten um $1$ erhöhen,
durch den neuen Exponenten teilen.

Die Regel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für negative und gebrochene. Brüche wie $\frac{1}{x^2}$ und Wurzeln wie $\sqrt{x}$ schreibt man dafür zuerst als Potenz.

Bei negativen Exponenten ist $x^n$ an der Stelle $0$ nicht definiert. Ein bestimmtes Integral darf dann die $0$ nicht im Intervall enthalten: $\int_{-1}^{1} x^{-2}\,dx$ lässt sich nicht mit der Regel berechnen. Für gebrochene Exponenten braucht man meist $x \geq 0$ .

Einzige Ausnahme beim Exponenten ist $n = -1$ , denn dann stünde im Nenner eine $0$ . Für $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ist die Stammfunktion $\ln|x|$ .

Weil die Ableitung einer Konstanten null ist, unterscheiden sich alle Stammfunktionen nur um eine Konstante. Deshalb schreibt man beim unbestimmten Integral die Integrationskonstante $C$ dazu.

Herleitung

Man prüft das Ergebnis durch Ableiten. Mit der Potenzregel der Ableitung gilt

\left(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\right)' = \frac{(n+1) \cdot x^n}{n+1} + 0 = x^n

Das Kürzen durch $n + 1$ ist nur für $n \neq -1$ erlaubt.

Beispiele

\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C

Ein Bruch wird zuerst als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben:

\int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \qquad (x \neq 0)

Eine Wurzel wird als Potenz mit Bruch im Exponenten geschrieben:

\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \qquad (x \geq 0)

Mit dem Hauptsatz folgt daraus ein bestimmtes Integral:

\int_0^2 x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4} - 0 = 4

Typische Fehler

Nur den Exponenten erhöhen und das Teilen vergessen: $\int x^3 \, dx = x^4$ ist falsch, richtig ist $\frac{x^4}{4} + C$ .
Durch den alten statt durch den neuen Exponenten teilen: $\frac{x^4}{3}$ ist falsch.
Die Regel auf $\frac{1}{x}$ anwenden. Das ergibt eine Division durch $0$ ; richtig ist $\ln|x| + C$ .
$\frac{1}{x^2}$ nicht als $x^{-2}$ umschreiben und stattdessen $\ln(x^2)$ ansetzen.

Stammfunktion einer Potenzfunktion