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Faktorregel

Faktorregel

Oberstufe
f(x)=c⋅g(x)  ⇒  f′(x)=c⋅g′(x)f(x) = c \cdot g(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = c \cdot g'(x)

Voraussetzung: c∈R,c \in \mathbb{R}, gg differenzierbar

cc
konstanter Faktor, eine feste Zahl
gg
differenzierbare Funktion
f′(x),g′(x)f'(x), g'(x)
Ableitungen von f und g

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen, abgeleitet wird nur die Funktion dahinter.

Erklärung

Steht vor einer Funktion eine feste Zahl als Faktor, wird nur die Funktion abgeleitet. Der Faktor wird unverändert mitgeschrieben.

Anschaulich: Multipliziert man alle Funktionswerte mit cc, wird der Graph in yy-Richtung um den Faktor cc gestreckt. Alle Steigungen werden dabei ebenfalls mit cc multipliziert.

Wichtig ist der Unterschied zu einem konstanten Summanden: 5x25x^2 hat die Ableitung 10x10x, bei x2+5x^2 + 5 fällt die 55 dagegen weg, die Ableitung ist 2x2x.

Beispiele

f(x)=4x3  ⇒  f′(x)=4⋅3x2=12x2f(x) = 4x^3 \;\Rightarrow\; f'(x) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2f(x)=−0,5x2  ⇒  f′(x)=−0,5⋅2x=−xf(x) = -0{,}5x^2 \;\Rightarrow\; f'(x) = -0{,}5 \cdot 2x = -xf(x)=x3=13⋅x  ⇒  f′(x)=13f(x) = \frac{x}{3} = \frac{1}{3} \cdot x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{3}

Typische Fehler

  • Den Faktor beim Ableiten weglassen: (4x3)′=3x2(4x^3)' = 3x^2 ist falsch.
  • Faktor und Summand verwechseln: (5x2)′=2x(5x^2)' = 2x ist falsch, (x2+5)′=2x(x^2 + 5)' = 2x ist richtig.
  • Den Faktor selbst „ableiten“ und die Produktregel bemühen. Das geht zwar, liefert aber nur 0⋅g(x)+c⋅g′(x)=c⋅g′(x)0 \cdot g(x) + c \cdot g'(x) = c \cdot g'(x).

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