Integral des Sinus

Oberstufe

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

Voraussetzung: $x$ $im Bogenmaß$

Eine Stammfunktion des Sinus ist der negative Kosinus.

Erklärung

Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$ . Also ist die Ableitung von $-\cos x$ genau $\sin x$ , und $-\cos x$ ist eine Stammfunktion des Sinus.

Die Formel gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Den Taschenrechner stellt man deshalb auf RAD.

Über eine volle Periode ist das Integral des Sinus null, weil sich Bogen über und unter der $x$ -Achse aufheben.

Fläche unter einem Sinusbogen:

\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1

Über eine volle Periode ist die Bilanz null:

\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = -\cos(2\pi) + \cos 0 = -1 + 1 = 0

Die Fläche zwischen Graph und $x$ -Achse ist dort aber $2 + 2 = 4$ .

Das Minuszeichen vergessen: $\int \sin x\,dx = \cos x$ ist falsch. Zur Kontrolle leitet man das Ergebnis ab.
Beim Einsetzen das Minus vor der Klammer verlieren: $-\cos \pi - (-\cos 0) = 1 + 1$ , nicht $1 - 1$ .
Mit dem Taschenrechner im Gradmaß (DEG) rechnen.