Grenzwert einer Folge (ε-Definition)

Studium

\lim_{n \to \infty} a_n = a \;\Leftrightarrow\; \forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb{N}\ \forall n \geq N:\ |a_n - a| < \varepsilon

Voraussetzung: $(a_n)$ $reelle$ $Folge$ $,$ $a \in \mathbb{R}$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a$: Grenzwert der Folge
$\varepsilon$: beliebig kleine positive Toleranz um den Grenzwert
$N$: Index, ab dem alle Glieder innerhalb der Toleranz liegen; hängt von ε ab
$n$: Index der Folgenglieder

Eine Folge hat den Grenzwert a, wenn zu jeder Toleranz ε > 0 ab einem Index N alle Glieder näher als ε an a liegen.

Die Glieder aₙ = (2n + 1)/(n + 1) nähern sich dem Grenzwert a = 2; für ε = 0,25 liegen ab N = 4 alle Glieder näher als ε an a

Erklärung

Die Definition macht „die Folge kommt dem Wert $a$ beliebig nahe“ präzise. Man gibt sich eine Toleranz $\varepsilon > 0$ vor, also einen Streifen $(a - \varepsilon,\ a + \varepsilon)$ um $a$ . Die Folge konvergiert gegen $a$ , wenn für jede noch so kleine Toleranz ein Index $N$ existiert, ab dem kein Glied den Streifen mehr verlässt.

$N$ darf von $\varepsilon$ abhängen. Je kleiner $\varepsilon$ , desto größer wird $N$ meist.
Endlich viele Glieder am Anfang spielen keine Rolle. Man sagt auch: fast alle Glieder liegen im Streifen.
Der Grenzwert ist eindeutig, wenn er existiert.
Eine Folge mit Grenzwert $0$ heißt Nullfolge. Es gilt $a_n \to a$ genau dann, wenn $a_n - a$ eine Nullfolge ist.

Im Beweis läuft es fast immer gleich: $|a_n - a|$ vereinfachen oder nach oben abschätzen, die Ungleichung $|a_n - a| < \varepsilon$ nach $n$ auflösen und daraus ein passendes $N$ ablesen.

Beispiele

$a_n = \frac{1}{n}$ ist eine Nullfolge: $\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon$ gilt für $n > \frac{1}{\varepsilon}$ . Zu $\varepsilon = 0{,}01$ passt also $N = 101$ , denn $\frac{1}{101} \approx 0{,}009901 < 0{,}01$ , während $\frac{1}{100} = 0{,}01$ gerade nicht mehr kleiner ist.

$a_n = \frac{2n + 1}{n + 1}$ konvergiert gegen $2$ :

|a_n - 2| = \left| \frac{2n + 1 - 2(n + 1)}{n + 1} \right| = \frac{1}{n + 1} < \varepsilon \;\Leftrightarrow\; n > \frac{1}{\varepsilon} - 1

Für $\varepsilon = 0{,}001$ funktioniert $N = 1000$ : $\frac{1}{1001} \approx 0{,}000999 < 0{,}001$ . Für $n = 999$ ist der Abstand genau $0{,}001$ und damit nicht kleiner.

$a_n = (-1)^n$ ist divergent: Zwei aufeinanderfolgende Glieder haben immer den Abstand $2$ . Bei $\varepsilon = \frac{1}{2}$ könnten nicht beide im Streifen um einen Wert $a$ liegen.

Typische Fehler

Die Quantoren vertauschen. „Es gibt ein $N$ , das für alle $\varepsilon$ passt“ ist viel stärker und gilt nur für Folgen, die ab einem Index konstant sind.
Ein festes $\varepsilon$ prüfen und daraus Konvergenz folgern. Die Bedingung muss für jedes $\varepsilon > 0$ gelten.
Glauben, die Folge müsse sich dem Grenzwert monoton nähern. $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ springt um $0$ herum und konvergiert trotzdem gegen $0$ .
$\leq \varepsilon$ und $< \varepsilon$ für wesentlich halten. Beide Varianten definieren denselben Grenzwertbegriff, nur das konkrete $N$ verschiebt sich eventuell um eins.

Grenzwert einer Folge (ε-Definition)