Ableitung des Arkussinus

Studium

f(x) = \arcsin x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Voraussetzung: $-1 < x < 1$

$x$: Stelle im offenen Intervall von −1 bis 1
$\arcsin x$: Arkussinus, der Winkel im Intervall von −π/2 bis π/2, dessen Sinus x ist
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Arkussinus ist 1 durch die Wurzel aus 1 − x²; sie existiert nur für −1 < x < 1.

Erklärung

Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus, eingeschränkt auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Er ist auf $[-1, 1]$ definiert, aber nur im Inneren $-1 < x < 1$ differenzierbar. An den Rändern $x = \pm 1$ hat der Graph senkrechte Tangenten, die Ableitung strebt dort gegen $+\infty$ .

Die Ableitung ist überall positiv, der Arkussinus ist also streng monoton wachsend. Ihr kleinster Wert ist $f'(0) = 1$ .

Für den Arkuskosinus gilt wegen $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ :

(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Herleitung

Mit der Ableitung der Umkehrfunktion und $y = \arcsin x$ , also $\sin y = x$ :

(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Die positive Wurzel ist richtig, weil $y$ zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ liegt und der Kosinus dort nicht negativ ist.

Beispiele

An den Stellen $x = 0$ und $x = 0{,}5$ :

f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1, \qquad f'(0{,}5) = \frac{1}{\sqrt{0{,}75}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547

Mit der Kettenregel, innere Ableitung $2$ :

g(x) = \arcsin(2x) \;\Rightarrow\; g'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}, \qquad g'(0{,}3) = \frac{2}{\sqrt{0{,}64}} = 2{,}5

Hier muss $|2x| < 1$ gelten, also $|x| < \frac{1}{2}$ .

Typische Fehler

$(\arcsin x)'$ mit $\frac{1}{\sin x}$ oder $\frac{1}{\cos x}$ verwechseln. Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert des Sinus.
Das Minus beim Arkuskosinus vergessen. Der Arkuskosinus fällt, seine Ableitung ist negativ.
Die innere Ableitung vergessen: $(\arcsin(2x))' \neq \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ , der Faktor $2$ fehlt.
Die Ableitung bei $x = \pm 1$ auswerten. Dort ist der Nenner null, die Ableitung existiert nicht.

Ableitung des Arkussinus