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Monotoniekriterium

Monotoniekriterium

Oberstufe
f′(x)>0 auf I  ⇒  f streng monoton wachsendf′(x)<0 auf I  ⇒  f streng monoton fallend\begin{aligned} f'(x) > 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; f \text{ streng monoton wachsend} \\ f'(x) < 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; f \text{ streng monoton fallend} \end{aligned}

Voraussetzung: ff differenzierbar auf dem Intervall II

f′(x)f'(x)
erste Ableitung von f, die Steigung an der Stelle x
II
Intervall, auf dem die Monotonie untersucht wird

Ist die Ableitung auf einem Intervall positiv, steigt die Funktion dort streng, ist sie negativ, fällt sie streng.

−2−112−3−2−1123xyf′ > 0f′ < 0f′ > 0
Graph von f(x) = x³ − 3x, steigend für x < −1 und x > 1 (f′ > 0), fallend zwischen −1 und 1 (f′ < 0)

Erklärung

Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen an. Aus ihrem Vorzeichen auf einem Intervall folgt das Monotonieverhalten:

  • f′(x)>0f'(x) > 0 für alle x∈Ix \in I: ff ist auf II streng monoton wachsend.
  • f′(x)<0f'(x) < 0 für alle x∈Ix \in I: ff ist auf II streng monoton fallend.
  • f′(x)≥0f'(x) \geq 0 für alle x∈Ix \in I: ff ist auf II monoton wachsend, und umgekehrt. Ebenso für f′(x)≤0f'(x) \leq 0 und monoton fallend.

Die strenge Version ist nur hinreichend: Einzelne Nullstellen von f′f' stören die strenge Monotonie nicht, wie bei f(x)=x3f(x) = x^3.

Das Kriterium gilt nur auf Intervallen. Auf einer Menge mit Lücke, z.B. R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, kann man daraus nichts schließen.

Vorgehen: Nullstellen von f′f' (und Definitionslücken) bestimmen, die Zahlengerade daran in Intervalle teilen und in jedem Intervall das Vorzeichen von f′f' mit einem Testwert ermitteln.

Beispiele

f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x mit f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Die Nullstellen −1-1 und 11 teilen R\mathbb{R} in drei Intervalle. Testwerte:

  • f′(−2)=9>0f'(-2) = 9 > 0: ff steigt streng auf (−∞,−1](-\infty, -1].
  • f′(0)=−3<0f'(0) = -3 < 0: ff fällt streng auf [−1,1][-1, 1].
  • f′(2)=9>0f'(2) = 9 > 0: ff steigt streng auf [1,∞)[1, \infty).

Die Funktion fällt also von f(−1)=2f(-1) = 2 auf f(1)=−2f(1) = -2. Die Randpunkte darf man den Intervallen zurechnen, weil ff dort stetig ist.

f(x)=x3f(x) = x^3 hat f′(x)=3x2≥0f'(x) = 3x^2 \geq 0 und f′(0)=0f'(0) = 0. Trotzdem ist ff auf ganz R\mathbb{R} streng monoton wachsend.

Typische Fehler

  • Das Kriterium über Definitionslücken hinweg anwenden. Für f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} ist f′(x)=−1x2<0f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0, aber f(−1)=−1<f(1)=1f(-1) = -1 < f(1) = 1. ff fällt nur auf (−∞,0)(-\infty, 0) und auf (0,∞)(0, \infty) jeweils einzeln.
  • Aus f′(x0)=0f'(x_0) = 0 schließen, dass ff dort nicht streng monoton ist. Das zeigt x3x^3.
  • Das Vorzeichen von ff statt von f′f' untersuchen. f(x)>0f(x) > 0 sagt nichts über Steigen oder Fallen.

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