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Potenzregel

Potenzregel

Oberstufe
f(x)=xn  ⇒  f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \;\Rightarrow\; f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Voraussetzung: n∈N,n \in \mathbb{N}, n≥1 ⁣:x∈R;n \geq 1\colon x \in \mathbb{R}; n∈Z ⁣:x≠0;n \in \mathbb{Z}\colon x \neq 0; n∈R ⁣:x>0n \in \mathbb{R}\colon x > 0

xx
Variable der Funktion
nn
Exponent, eine feste Zahl
f′(x)f'(x)
Ableitung von f

Beim Ableiten einer Potenz wird der Exponent als Faktor vorgezogen und dann um eins verkleinert.

Erklärung

Die Potenzregel ist die wichtigste Ableitungsregel: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne, der neue Exponent ist um 11 kleiner.

Sie gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern für jeden festen reellen Exponenten. Dafür muss xx im Definitionsbereich liegen:

  • bei n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots für alle xx,
  • bei negativen ganzen Exponenten für x≠0x \neq 0,
  • bei gebrochenen oder anderen reellen Exponenten für x>0x > 0.

Sonderfälle: (x)′=1(x)' = 1 und die Ableitung einer Konstanten ist 00.

Brüche und Wurzeln schreibt man vorher als Potenz um, z.B. 1x2=x−2\frac{1}{x^2} = x^{-2} und x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}.

Herleitung

Für n=2n = 2 mit dem Differentialquotienten:

(x+h)2−x2h=2xh+h2h=2x+h  →h→0  2x\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \;\xrightarrow{h \to 0}\; 2x

Für größere natürliche nn liefert der binomische Lehrsatz (x+h)n=xn+nxn−1h+(Terme mit h2,h3,…)(x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + (\text{Terme mit } h^2, h^3, \ldots). Nach dem Teilen durch hh bleibt im Grenzwert nur nxn−1n x^{n-1}.

Beispiele

f(x)=x5  ⇒  f′(x)=5x4,f′(2)=5⋅24=80f(x) = x^5 \;\Rightarrow\; f'(x) = 5x^4, \quad f'(2) = 5 \cdot 2^4 = 80f(x)=1x2=x−2  ⇒  f′(x)=−2x−3=−2x3f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \;\Rightarrow\; f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}f(x)=x=x12  ⇒  f′(x)=12x−12=12xf(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Typische Fehler

  • Den Exponenten nicht verkleinern: (x5)′=5x5(x^5)' = 5x^5 ist falsch, richtig ist 5x45x^4.
  • Bei negativen Exponenten falsch zählen: Aus x−2x^{-2} wird −2x−3-2x^{-3}, nicht −2x−1-2x^{-1}.
  • Die Potenzregel auf Exponentialfunktionen anwenden. Bei 2x2^x steht die Variable im Exponenten, (2x)′=x⋅2x−1(2^x)' = x \cdot 2^{x-1} ist falsch.
  • 1x2\frac{1}{x^2} ableiten, indem man nur den Nenner ableitet: 12x\frac{1}{2x} ist falsch.

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