Regel von L’Hospital

Studium

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Voraussetzung: $f, g$ $nahe$ $a$ $differenzierbar$ $,$ $Typ$ $\tfrac{0}{0}$ $oder$ $\tfrac{\infty}{\infty},$ $g'(x) \neq 0$ $nahe$ $a,$ $\lim_{x \to a} \tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ $existiert (auch$ $\pm\infty$ $)$

$f, g$: in der Nähe von a differenzierbare Funktionen, Zähler und Nenner
$a$: Stelle, an der der Grenzwert gesucht ist; auch ±∞ ist erlaubt
$f'(x), g'(x)$: Ableitungen von Zähler und Nenner, jeweils einzeln

Bei Grenzwerten vom Typ 0/0 oder ∞/∞ darf man Zähler und Nenner getrennt ableiten.

Erklärung

Die Regel von L’Hospital hilft bei Grenzwerten von Quotienten, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig gegen $0$ oder gleichzeitig gegen $\pm\infty$ gehen. Solche unbestimmten Ausdrücke $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ haben keinen festen Wert.

Voraussetzungen:

$f$ und $g$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar (an der Stelle $a$ selbst nicht nötig).
$g'(x) \neq 0$ in dieser Umgebung, außer eventuell bei $a$ .
Der Grenzwert $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existiert (als Zahl oder als $\pm\infty$ ).

Dann hat auch $\frac{f}{g}$ diesen Grenzwert. Die Regel gilt ebenso für einseitige Grenzwerte und für $a = \pm\infty$ . Führt die Anwendung wieder auf $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ , darf man sie erneut anwenden.

Andere unbestimmte Formen wie $0 \cdot \infty$ oder $\infty - \infty$ formt man zuerst in einen Quotienten um.

Beispiele

Typ $\frac{0}{0}$ :

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1

Zweimal angewendet, weil nach dem ersten Schritt wieder $\frac{0}{0}$ entsteht:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}

Typ $\frac{\infty}{\infty}$ :

\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0

Typische Fehler

Die Quotientenregel anwenden. Zähler und Nenner werden getrennt abgeleitet.
Die Regel ohne unbestimmten Ausdruck anwenden. $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ , mit L’Hospital käme fälschlich $\frac{1}{1} = 1$ heraus.
Aus „ $\lim \frac{f'}{g'}$ existiert nicht“ schließen, dass auch $\lim \frac{f}{g}$ nicht existiert. Beispiel: $\frac{x + \sin x}{x} \to 1$ für $x \to \infty$ , aber $\frac{1 + \cos x}{1}$ hat keinen Grenzwert.

Regel von L’Hospital