Steckbriefaufgaben

Oberstufe

\begin{gathered} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \\ \text{mit}\ f(x_0) = y_0, \\ f'(x_E) = 0,\ f''(x_W) = 0 \end{gathered}

Voraussetzung: $n + 1$ $unabhängige Bedingungen für eine Funktion vom Grad$ $n$

$a, b, c, d$: gesuchte Koeffizienten der ganzrationalen Funktion
$f(x_0) = y_0$: Bedingung aus einem Punkt P(x₀ | y₀) auf dem Graphen
$x_E$: Extremstelle, an der die Ableitung null ist
$x_W$: Wendestelle, an der die zweite Ableitung null ist
$n$: Grad der gesuchten Funktion, Anzahl der Unbekannten ist n + 1

Aus Eigenschaften wie Punkten, Extrem- und Wendestellen stellt man ein Gleichungssystem für die Koeffizienten auf.

Graph von f(x) = x³ − 3x² + 1 mit dem Hochpunkt (0 | 1), der Wendestelle x = 1 und dem Punkt (2 | −3)

Erklärung

Bei einer Steckbriefaufgabe ist nicht die Funktion gegeben, sondern ihre Eigenschaften. Gesucht ist der Funktionsterm, meist einer ganzrationalen Funktion. Man geht so vor:

Ansatz mit allgemeinen Koeffizienten wählen, z.B. $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ für Grad $3$ , und $f'$ , $f''$ bilden.
Jede Eigenschaft in eine Gleichung übersetzen.
Das lineare Gleichungssystem lösen, z.B. mit dem Gauß-Algorithmus.
Den Funktionsterm angeben und die Eigenschaften überprüfen.

Für eine Funktion vom Grad $n$ gibt es $n + 1$ Koeffizienten, man braucht also $n + 1$ voneinander unabhängige Bedingungen. Übliche Übersetzungen:

Punkt $P(x_0 \mid y_0)$ auf dem Graphen: $f(x_0) = y_0$ .
Extremum bei $x_E$ : $f'(x_E) = 0$ . Ein Extrempunkt $E(x_E \mid y_E)$ liefert zwei Gleichungen: zusätzlich $f(x_E) = y_E$ .
Wendestelle bei $x_W$ : $f''(x_W) = 0$ . Ein Wendepunkt liefert ebenfalls zwei Gleichungen.
Steigung $m$ an der Stelle $x_0$ , z.B. aus einer Tangente: $f'(x_0) = m$ .
Achsensymmetrie zur y-Achse: nur gerade Exponenten. Punktsymmetrie zum Ursprung: nur ungerade Exponenten. Das verringert die Zahl der Unbekannten.

Beispiele

Gesucht ist eine Funktion 3. Grades mit Extremum im Punkt $(0 \mid 1)$ , einer Wendestelle bei $x = 1$ , die durch $(2 \mid -3)$ verläuft. Mit $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ und $f''(x) = 6ax + 2b$ :

$f(0) = 1$ : $d = 1$
$f'(0) = 0$ : $c = 0$
$f''(1) = 0$ : $6a + 2b = 0$ , also $b = -3a$
$f(2) = -3$ : $8a + 4b + 2c + d = -3$

Einsetzen in die letzte Gleichung: $8a - 12a + 1 = -3$ , also $a = 1$ und $b = -3$ :

f(x) = x^3 - 3x^2 + 1

Probe: $f(0) = 1$ , $f'(0) = 0$ , $f''(1) = 0$ , $f(2) = -3$ . Wegen $f''(0) = -6 < 0$ ist $(0 \mid 1)$ tatsächlich ein Hochpunkt, und wegen $f'''(1) = 6 \neq 0$ ist $x = 1$ tatsächlich eine Wendestelle.

Gesucht ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades mit Tiefpunkt $T(1 \mid -2)$ . Ansatz $f(x) = ax^3 + cx$ :

$f(1) = -2$ : $a + c = -2$
$f'(1) = 0$ : $3a + c = 0$

Subtrahieren ergibt $2a = 2$ , also $a = 1$ und $c = -3$ , somit $f(x) = x^3 - 3x$ . Probe: $f''(1) = 6 > 0$ , es ist ein Tiefpunkt.

Typische Fehler

Bei einem Extrem- oder Wendepunkt nur eine Gleichung aufstellen. Der Punkt liefert $f(x_0) = y_0$ , die Eigenschaft eine zweite Gleichung.
Zu wenige oder abhängige Bedingungen verwenden. Dann ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar.
Die Probe weglassen. $f'(x_E) = 0$ ist nur notwendig, die gefundene Funktion kann an der Stelle auch einen Sattelpunkt haben.
Symmetrie nicht nutzen und so unnötig viele Unbekannte mitschleppen.

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