Satz von Rolle

Erklärung

Der Satz von Rolle ist der Sonderfall $f(a) = f(b)$ des Mittelwertsatzes: Die Sekante durch die Endpunkte ist waagerecht, also gibt es eine innere Stelle mit waagerechter Tangente.

Anschaulich: Wer von $f(a)$ startet und bei demselben Wert ankommt, muss unterwegs umkehren. An dieser Stelle hat $f$ ein Maximum oder Minimum im Inneren, und dort ist die Ableitung $0$. Ist $f$ konstant, gilt $f' = 0$ sogar überall.

Wichtige Anwendung: Nullstellen zählen. Zwischen zwei Nullstellen von $f$ liegt nach Rolle eine Nullstelle von $f'$. Hat $f'$ also keine Nullstelle, hat $f$ höchstens eine. Allgemein hat ein Polynom mit $k$ verschiedenen reellen Nullstellen eine Ableitung mit mindestens $k - 1$ Nullstellen.

Beispiele

$f(x) = x^2 - 4x + 1$ auf $[0, 4]$: Es gilt $f(0) = f(4) = 1$. Aus $f'(\xi) = 2\xi - 4 = 0$ folgt $\xi = 2$, der Scheitelpunkt.

$f(x) = x^3 - x$ auf $[-1, 1]$: Es gilt $f(-1) = f(1) = 0$. Aus $3\xi^2 - 1 = 0$ folgt $\xi = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0{,}577$. Hier gibt es also zwei passende Stellen.

$f(x) = x^3 + x - 1$ hat genau eine reelle Nullstelle: Mindestens eine liefert der Zwischenwertsatz. Hätte $f$ zwei, müsste $f'(x) = 3x^2 + 1$ dazwischen null werden. Das ist unmöglich, denn $3x^2 + 1 \geq 1$.

Typische Fehler

• Die Differenzierbarkeit übergehen. $f(x) = |x|$ auf $[-1, 1]$ hat $f(-1) = f(1)$, aber $f'$ ist nirgends $0$. Bei $0$ hat der Graph einen Knick.
• $\xi$ am Rand suchen. Der Satz garantiert eine Stelle im Inneren $(a, b)$.
• Den Satz auch für $f(a) \neq f(b)$ verwenden. Dann ist der Mittelwertsatz zuständig, und $f'(\xi)$ ist die Sekantensteigung statt $0$.