Ableitung des Arkustangens

Studium

f(x) = \arctan x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}

$x$: beliebige reelle Zahl
$\arctan x$: Arkustangens, der Winkel zwischen −π/2 und π/2, dessen Tangens x ist
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des Arkustangens ist 1 durch 1 + x²; sie existiert für alle reellen Zahlen.

Erklärung

Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens, eingeschränkt auf $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ . Er ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar.

Die Ableitung $\frac{1}{1 + x^2}$ ist immer positiv und höchstens $1$ . Der Arkustangens steigt also überall, aber immer flacher, je weiter man nach außen geht. Seine Werte nähern sich $\pm\frac{\pi}{2}$ , ohne sie zu erreichen.

Für den Arkuskotangens gilt wegen $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ : $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$ .

Die Formel ist vor allem rückwärts wichtig: $\arctan x$ ist eine Stammfunktion von $\frac{1}{1 + x^2}$ , einer rationalen Funktion ohne Nullstellen im Nenner.

Herleitung

Mit der Ableitung der Umkehrfunktion und $y = \arctan x$ , also $\tan y = x$ . Die Ableitung des Tangens schreibt man als $1 + \tan^2 y$ :

(\arctan x)' = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}

Beispiele

An den Stellen $x = 0$ und $x = 1$ :

f'(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1, \qquad f'(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Mit der Kettenregel, innere Funktion $x^2$ :

g(x) = \arctan(x^2) \;\Rightarrow\; g'(x) = \frac{2x}{1 + x^4}, \qquad g'(1) = \frac{2}{2} = 1

Typische Fehler

$\arctan x$ mit $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ verwechseln. Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert.
Bei verketteten Funktionen nur $x$ durch die innere Funktion ersetzen: $(\arctan(x^2))' = \frac{1}{1 + x^4}$ ist falsch, die innere Ableitung $2x$ fehlt.
$\frac{1}{1 + x^2}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ verwechseln. Das ist die Ableitung des Arkussinus.

Ableitung des Arkustangens