Grenzwertsätze

Oberstufe

\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b,\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b,\quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}

Voraussetzung: $\lim_{n \to \infty} a_n = a,$ $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ $mit$ $a,$ $b \in \mathbb{R};$ $beim Quotienten$ $b \neq 0$ $und$ $b_n \neq 0$

$a_n, b_n$: konvergente Folgen
$a, b$: Grenzwerte der beiden Folgen (endliche reelle Zahlen)
$n$: Index der Folgenglieder

Grenzwerte von Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen erhält man aus den einzelnen Grenzwerten.

Erklärung

Die Grenzwertsätze erlauben, Grenzwerte zusammengesetzter Folgen aus bekannten Bausteinen zu berechnen, ohne jedes Mal die ε-Definition zu bemühen. Voraussetzung ist, dass beide Folgen konvergieren, also einen endlichen Grenzwert haben. Beim Quotienten darf zusätzlich der Grenzwert des Nenners nicht $0$ sein.

Zusätzlich gilt: $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot a$ für eine Konstante $c$ , und $\lim \sqrt{a_n} = \sqrt{a}$ für $a_n \geq 0$ . Dieselben Regeln gelten für Funktionsgrenzwerte $x \to x_0$ oder $x \to \pm\infty$ .

Bei gebrochenrationalen Ausdrücken klammert man im Zähler und Nenner die höchste Potenz des Nenners aus. Danach gehen die Brüche wie $\frac{2}{n}$ gegen $0$ , und die Grenzwertsätze sind anwendbar.

Beispiele

Mit Ausklammern von $n^2$ :

\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n}{n^2 - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3

Für $n = 1000$ ist der Bruch etwa $3{,}002$ .

Für einen Funktionsgrenzwert mit stetigen Bausteinen: $\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)(x - 3) = 5 \cdot (-1) = -5$ .

Bei $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ entsteht zunächst „ $\infty - \infty$ “. Erweitern mit $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$ liefert

\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 0

Für $n = 10\,000$ ist der Wert etwa $0{,}005$ .

Typische Fehler

Die Sätze auf divergente Folgen anwenden. Bei $a_n = (-1)^n$ und $b_n = (-1)^{n+1}$ divergieren beide, die Summe ist aber konstant $0$ .
Unbestimmte Ausdrücke wie $\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ oder $\frac{0}{0}$ direkt ausrechnen. Erst umformen (ausklammern, erweitern, kürzen).
Die Quotientenregel bei Nenner-Grenzwert $0$ benutzen. Bei $\frac{1/n}{1/n^2}$ gehen Zähler und Nenner gegen $0$ , „ $\frac{0}{0}$ “ ist aber kein Ergebnis: Der Quotient ist $n$ und divergiert.
Nur die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner getrennt betrachten, wenn sie verschieden sind: $\frac{n^3}{n^2 + 1}$ divergiert, $\frac{n^2}{n^3 + 1}$ geht gegen $0$ .

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