Ableitung der Umkehrfunktion

Studium

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{mit } y_0 = f(x_0)

Voraussetzung: $f$ $stetig und streng monoton auf einem$ $Intervall$ $,$ $f$ $differenzierbar in$ $x_0,$ $f'(x_0) \neq 0$

$f^{-1}$: Umkehrfunktion von f
$x_0$: Stelle im Definitionsbereich von f
$y_0$: zugehöriger Funktionswert, Stelle im Definitionsbereich von f⁻¹
$f'(x_0)$: Ableitung von f an der Stelle x₀, darf nicht null sein

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung von f an der zugehörigen Stelle.

Graph von f(x) = x³ + x und der an y = x gespiegelten Umkehrfunktion f⁻¹; die Tangente in (1 | 2) hat die Steigung 4, die gespiegelte Tangente in (2 | 1) die Steigung 1/4

Erklärung

Ist $f$ auf einem Intervall streng monoton, besitzt $f$ dort eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ . Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Geraden $y = x$ . Bei dieser Spiegelung werden aus Steigungen $m$ die Kehrwerte $\frac{1}{m}$ .

Wichtig ist die Zuordnung der Stellen: Die Ableitung von $f^{-1}$ an der Stelle $y_0$ ist der Kehrwert der Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0 = f^{-1}(y_0)$ . Als Funktion geschrieben:

\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'\!\left(f^{-1}(y)\right)}

Ist $f'(x_0) = 0$ , hat $f^{-1}$ an der Stelle $y_0$ eine senkrechte Tangente und ist dort nicht differenzierbar, z.B. $\sqrt[3]{y}$ bei $y = 0$ .

Herleitung

Aus $f\!\left(f^{-1}(y)\right) = y$ folgt mit der Kettenregel $f'\!\left(f^{-1}(y)\right) \cdot \left(f^{-1}\right)'(y) = 1$ . Man löst nach $\left(f^{-1}\right)'(y)$ auf. Dass $f^{-1}$ überhaupt differenzierbar ist, folgt aus Stetigkeit, strenger Monotonie und $f'(x_0) \neq 0$ .

Beispiele

$\ln$ ist die Umkehrfunktion von $\exp$ , und $\exp' = \exp$ :

(\ln y)' = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}, \quad y > 0

$\arcsin$ ist die Umkehrfunktion von $\sin$ auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Dort ist $\cos x \geq 0$ , also $\cos(\arcsin y) = \sqrt{1 - y^2}$ :

(\arcsin y)' = \frac{1}{\cos(\arcsin y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1

$\arctan$ ist die Umkehrfunktion von $\tan$ auf $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ , mit $\tan' = 1 + \tan^2$ :

(\arctan y)' = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan y)} = \frac{1}{1 + y^2}

Ohne Formel für die Umkehrfunktion: $f(x) = x^3 + x$ ist streng monoton wachsend, $f(1) = 2$ und $f'(1) = 4$ . Also gilt

\left(f^{-1}\right)'(2) = \frac{1}{4}

Typische Fehler

An der falschen Stelle ableiten: $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(y_0)}$ ist falsch. Im Beispiel wäre $\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{13}$ statt $\frac{1}{4}$ .
$f^{-1}$ mit $\frac{1}{f}$ verwechseln. Die Umkehrfunktion ist nicht der Kehrwert der Funktion.
Die Voraussetzung $f'(x_0) \neq 0$ übersehen.

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