Integral von 1/(1+x²)

Studium

\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C

$x$: Integrationsvariable, beliebige reelle Zahl
$\arctan x$: Arkustangens, die Umkehrfunktion des Tangens
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion von 1/(1 + x²) ist der Arkustangens; allgemeiner gilt das Integral von 1/(a² + x²) = arctan(x/a)/a.

Erklärung

Die Funktion $\frac{1}{1 + x^2}$ ist rational, hat aber keine Stammfunktion aus Polynomen, Brüchen oder Logarithmen. Ihre Stammfunktion ist der Arkustangens, weil $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ gilt.

Der Nenner $1 + x^2$ ist nie null. Die Formel gilt deshalb ohne Einschränkung auf ganz $\mathbb{R}$ .

Mit linearer Substitution erhält man die allgemeinere Form, die man z.B. bei der Partialbruchzerlegung braucht:

\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C, \qquad a > 0

Herleitung

Man klammert $a^2$ im Nenner aus und substituiert $u = \frac{x}{a}$ , also $dx = a\,du$ :

\int \frac{1}{a^2\left(1 + \left(\frac{x}{a}\right)^2\right)}\,dx = \frac{1}{a^2} \cdot a \int \frac{1}{1 + u^2}\,du = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C

Beispiele

Von $0$ bis $1$ :

\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854

Mit $a = 2$ , von $0$ bis $2$ :

\int_0^2 \frac{1}{4 + x^2}\,dx = \frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8} \approx 0{,}3927

Als uneigentliches Integral über ganz $\mathbb{R}$ , weil $\arctan x$ für $x \to \pm\infty$ gegen $\pm\frac{\pi}{2}$ strebt:

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi

Typische Fehler

Wie bei $\int \frac{1}{x}\,dx$ den Logarithmus nehmen: $\ln(1 + x^2)$ ist falsch, seine Ableitung ist $\frac{2x}{1 + x^2}$ .
Bei $\frac{1}{a^2 + x^2}$ den Faktor $\frac{1}{a}$ oder die Division im Argument vergessen.
$\frac{1}{1 - x^2}$ genauso behandeln. Dieser Nenner hat Nullstellen, die Stammfunktion enthält Logarithmen statt des Arkustangens.

Integral von 1/(1+x²)