Ableitung von x hoch r (reelle Exponenten)

Oberstufe

f(x) = x^r \;\Rightarrow\; f'(x) = r \cdot x^{r-1}

Voraussetzung: $r \in \mathbb{R},$ $x > 0$

$x$: positive reelle Zahl, die Variable der Funktion
$r$: fester reeller Exponent, z.B. ein Bruch oder eine irrationale Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Auch bei beliebigen reellen Exponenten wird der Exponent als Faktor vorgezogen und um eins verkleinert, für x > 0.

Erklärung

Die Potenzregel gilt nicht nur für ganze Exponenten, sondern für jeden reellen Exponenten $r$ , also auch für Brüche wie $\frac{2}{3}$ und irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\pi$ .

Die Bedingung $x > 0$ ist nötig, weil $x^r$ für beliebige reelle $r$ nur für positive Basen erklärt ist. Für spezielle Exponenten reicht weniger: Bei natürlichen Zahlen gilt die Regel für alle $x$ , bei negativen ganzen Zahlen für $x \neq 0$ .

Wichtig ist die Unterscheidung:

$x^r$ : Die Basis ist variabel, der Exponent fest. Hier gilt diese Regel.
$a^x$ : Der Exponent ist variabel. Das ist eine Exponentialfunktion mit $(a^x)' = a^x \ln a$ .
$x^x$ : Basis und Exponent sind variabel. Dafür braucht man die Ableitung von $f(x)^{g(x)}$ .

Herleitung

Für $x > 0$ schreibt man die Potenz mit der e-Funktion und leitet mit der Kettenregel ab:

x^r = e^{r \ln x} \;\Rightarrow\; (x^r)' = e^{r \ln x} \cdot \frac{r}{x} = x^r \cdot \frac{r}{x} = r \cdot x^{r-1}

Beispiele

Irrationaler Exponent:

f(x) = x^{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; f'(x) = \sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2} - 1}

Dezimalzahl als Exponent:

f(x) = x^{2{,}5} \;\Rightarrow\; f'(x) = 2{,}5 \cdot x^{1{,}5}, \qquad f'(4) = 2{,}5 \cdot 8 = 20

Wurzel im Nenner, vorher als Potenz geschrieben:

f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}} \;\Rightarrow\; f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{4}{3}}, \qquad f'(8) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} = -\frac{1}{48}

Typische Fehler

Den Exponenten falsch verkleinern: Aus $-\frac{1}{3}$ wird $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$ , nicht $-\frac{2}{3}$ .
Die Regel auf $a^x$ anwenden: $(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$ ist falsch, richtig ist $2^x \ln 2$ .
Die Regel auf $x^x$ anwenden: $(x^x)' = x \cdot x^{x-1}$ ist falsch, richtig ist $x^x(\ln x + 1)$ .

Ableitung von x hoch r (reelle Exponenten)