Intervalladditivität

Erklärung

Man kann den Integrationsweg von $a$ nach $c$ an einer beliebigen Stelle $b$ unterbrechen. Die beiden Teilintegrale ergeben zusammen wieder das ganze Integral.

Dazu gehören zwei Festlegungen:

• Gleiche Grenzen ergeben null: $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.
• Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.

Mit diesen Festlegungen gilt die Regel für jede Lage von $a$, $b$ und $c$, auch wenn $b$ nicht zwischen $a$ und $c$ liegt.

Man braucht die Regel vor allem für zwei Aufgabentypen:

• Abschnittsweise definierte Funktionen und Beträge: Man teilt an den Stellen auf, an denen die Funktionsvorschrift wechselt.
• Flächenberechnung: Man teilt an den Nullstellen auf und addiert die Beträge der Teilintegrale.

Beispiele

Die Betragsfunktion ist für $x < 0$ gleich $-x$ und für $x \geq 0$ gleich $x$. Man teilt deshalb bei $0$ auf:

Die Funktion $f(x) = x^3$ hat zwischen $-1$ und $2$ die Nullstelle $0$. Das Integral liefert nur die Flächenbilanz:

Für die Fläche teilt man bei $0$ auf und nimmt die Beträge:

Typische Fehler

• Bei einer Flächenberechnung nicht an den Nullstellen aufteilen. Im zweiten Beispiel erhält man dann $3{,}75$ statt $4{,}25$.
• Teilintervalle verwenden, die nicht lückenlos aneinanderschließen: Die obere Grenze des ersten Integrals muss die untere Grenze des zweiten sein.
• Beim Vertauschen der Grenzen das Vorzeichen nicht ändern.