Mittelwert einer Funktion

Oberstufe

\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx

Voraussetzung: $f$ $stetig auf$ $[a, b],$ $a < b$

$\overline{f}$: Mittelwert der Funktionswerte auf dem Intervall
$f$: die betrachtete Funktion
$a, b$: Intervallgrenzen
$b - a$: Länge des Intervalls

Der Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall ist ihr Integral geteilt durch die Intervalllänge.

Die Fläche unter f(x) = x² auf [0, 3] ist so groß wie das Rechteck mit der Höhe des Mittelwerts 3

Erklärung

Bei endlich vielen Werten bildet man den Durchschnitt, indem man addiert und durch die Anzahl teilt. Bei einer Funktion übernimmt das Integral die Rolle der Summe und die Intervalllänge $b - a$ die Rolle der Anzahl.

Anschaulich ist $\overline{f}$ die Höhe eines Rechtecks über $[a, b]$ , das dieselbe Flächenbilanz hat wie der Graph von $f$ .

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt: Ist $f$ stetig, gibt es mindestens eine Stelle $\xi$ zwischen $a$ und $b$ , an der $f$ genau diesen Mittelwert annimmt, also $f(\xi) = \overline{f}$ .

Typische Anwendungen sind mittlere Temperaturen, mittlere Geschwindigkeiten oder mittlere Leistungen über einen Zeitraum.

Beispiele

Für $f(x) = x^2$ auf $[0, 3]$ :

\overline{f} = \frac{1}{3 - 0} \int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

Die Stelle aus dem Mittelwertsatz ist $\xi = \sqrt{3}$ , denn $(\sqrt{3})^2 = 3$ .

Die Temperatur an einem Tag wird modelliert durch $T(t) = -0{,}25\,t^2 + 3t + 10$ (in °C, $t$ in Stunden ab 6 Uhr). Mittlere Temperatur zwischen 6 und 18 Uhr, also für $0 \leq t \leq 12$ :

\overline{T} = \frac{1}{12} \int_0^{12} T(t)\,dt = \frac{1}{12} \left[-\frac{t^3}{12} + 1{,}5\,t^2 + 10t\right]_0^{12} = \frac{192}{12} = 16

Die mittlere Temperatur beträgt $16\,\text{°C}$ .

Typische Fehler

Nur die Randwerte mitteln: $\frac{f(0) + f(3)}{2} = 4{,}5$ ist nicht der Mittelwert von $x^2$ auf $[0, 3]$ . Das stimmt nur bei linearen Funktionen.
Das Teilen durch $b - a$ vergessen und das Integral selbst als Mittelwert angeben.
Mittelwert der Funktion und mittlere Steigung $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ verwechseln.

Mittelwert einer Funktion