Ableitung von a hoch x

Oberstufe

f(x) = a^x \;\Rightarrow\; f'(x) = \ln(a) \cdot a^x

Voraussetzung: $a > 0$

$a$: Basis der Exponentialfunktion, eine positive Zahl
$x$: beliebige reelle Zahl
$\ln(a)$: natürlicher Logarithmus der Basis
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung von a hoch x ist die Funktion selbst, multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Erklärung

Bei einer Exponentialfunktion mit beliebiger positiver Basis $a$ ist die Ableitung wieder ein Vielfaches der Funktion selbst. Der Faktor ist der natürliche Logarithmus $\ln(a)$ .

Für $a > 1$ ist $\ln(a) > 0$ , die Funktion steigt.
Für $0 < a < 1$ ist $\ln(a) < 0$ , die Funktion fällt.
Für $a = e$ ist $\ln(e) = 1$ , man erhält die bekannte Regel $(e^x)' = e^x$ .

Herleitung

Jede Potenz mit positiver Basis lässt sich als e-Funktion schreiben: $a^x = e^{x \ln(a)}$ . Mit der Kettenregel folgt

\left(e^{x \ln(a)}\right)' = e^{x \ln(a)} \cdot \ln(a) = \ln(a) \cdot a^x

Beispiele

f(x) = 2^x \;\Rightarrow\; f'(x) = \ln(2) \cdot 2^x, \quad f'(3) = 8 \ln(2) \approx 5{,}545

f(x) = 0{,}5^x \;\Rightarrow\; f'(x) = \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^x \approx -0{,}6931 \cdot 0{,}5^x

Eine Bakterienkultur wächst nach $N(t) = 100 \cdot 1{,}05^t$ ( $t$ in Stunden). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn ist

N'(0) = 100 \cdot \ln(1{,}05) \cdot 1{,}05^0 \approx 4{,}88 \text{ Bakterien pro Stunde}

Typische Fehler

Die Potenzregel anwenden: $(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$ ist falsch.
Den Faktor $\ln(a)$ vergessen und $(2^x)' = 2^x$ schreiben. Das gilt nur für die Basis $e$ .
Den Zehnerlogarithmus statt des natürlichen Logarithmus verwenden. Der Faktor ist $\ln(a)$ , nicht $\lg(a)$ .

Ableitung von a hoch x