Ableitung des natürlichen Logarithmus

Oberstufe

f(x) = \ln x \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{x}

Voraussetzung: $x > 0$

$\ln x$: natürlicher Logarithmus von x, Logarithmus zur Basis e
$x$: positive reelle Zahl
$f'(x)$: Ableitung von f

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist 1 durch x, für alle positiven x.

Erklärung

Die Funktion $\ln x$ ist nur für $x > 0$ definiert. Ihre Ableitung $\frac{1}{x}$ ist dort überall positiv, der Graph steigt also ständig, wird aber immer flacher.

Die Regel ist besonders wichtig, weil $\frac{1}{x}$ die einzige Potenz $x^n$ ist, die man nicht mit der Potenzregel als Ableitung erhält. Für $x \neq 0$ gilt außerdem

\left(\ln |x|\right)' = \frac{1}{x}

Für einen Logarithmus zu einer anderen Basis $a > 0$ , $a \neq 1$ folgt mit dem Basiswechsel: $\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x \ln(a)}$ .

Herleitung

$\ln$ ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, also gilt $e^{\ln x} = x$ . Leitet man beide Seiten mit der Kettenregel ab, erhält man

e^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1 \quad\Rightarrow\quad (\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}

Beispiele

Mit dem Logarithmusgesetz ist $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$ . Der Summand $\ln 3$ ist konstant:

f(x) = \ln(3x) \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{1}{x}

Das gleiche Ergebnis liefert die Kettenregel: $\frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$ .

f(x) = \ln(x^2 + 1) \;\Rightarrow\; f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, \quad f'(1) = \frac{2}{2} = 1

Typische Fehler

Bei $\ln(3x)$ die innere Ableitung vergessen: $\frac{1}{3x}$ ist falsch, richtig ist $\frac{1}{x}$ .
Die Ableitung für $x \leq 0$ verwenden. Dort ist $\ln x$ gar nicht definiert.
$(\ln x)' = \frac{1}{\ln x}$ schreiben. Im Nenner steht $x$ , nicht $\ln x$ .
Bei $\ln(x^2 + 1)$ nur $\frac{1}{x^2 + 1}$ angeben. Die innere Ableitung $2x$ gehört in den Zähler.

Ableitung des natürlichen Logarithmus