Integral des Tangens

Studium

\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $k \in \mathbb{Z},$ $x$ $im Bogenmaß$

$x$: Integrationsvariable, ein Winkel im Bogenmaß
$k$: beliebige ganze Zahl
$C$: Integrationskonstante

Eine Stammfunktion des Tangens ist minus der natürliche Logarithmus vom Betrag des Kosinus.

Erklärung

Der Tangens hat keine Stammfunktion, die man direkt aus einer Ableitungsregel ablesen kann. Schreibt man ihn als Quotient, steht im Zähler aber bis auf das Vorzeichen die Ableitung des Nenners:

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{(\cos x)'}{\cos x}

Damit greift die logarithmische Integration $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$ .

Die Betragsstriche sind wichtig: Auf Intervallen, auf denen $\cos x < 0$ ist, wäre $\ln(\cos x)$ nicht definiert. Ein bestimmtes Integral darf keine Polstelle $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ einschließen.

Wegen $-\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}$ findet man die Stammfunktion auch als $\ln|\sec x| + C$ geschrieben.

Genauso erhält man für den Kotangens:

\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C, \qquad x \neq k\pi

Beispiele

Von $0$ bis $\frac{\pi}{4}$ , mit $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ und $\cos 0 = 1$ :

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx = -\ln\frac{1}{\sqrt{2}} + \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0{,}3466

Von $0$ bis $\frac{\pi}{3}$ , mit $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ :

\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan x\,dx = -\ln\frac{1}{2} + \ln 1 = \ln 2 \approx 0{,}6931

Typische Fehler

Das Minuszeichen vergessen. $\ln|\cos x|$ abgeleitet ergibt $-\tan x$ .
Die Betragsstriche weglassen. Dann ist die Stammfunktion z.B. auf $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ nicht definiert.
Über eine Polstelle hinweg integrieren, z.B. von $0$ bis $\pi$ . Das Integral existiert dort nicht, auch wenn das Einsetzen der Grenzen eine Zahl liefert.
Die Stammfunktion mit der Ableitung $\frac{1}{\cos^2 x}$ verwechseln.

Integral des Tangens