Krümmungsverhalten

Oberstufe

\begin{aligned} f'' > 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; \text{Linkskurve} \\ f'' < 0 \text{ auf } I &\;\Rightarrow\; \text{Rechtskurve} \end{aligned}

Voraussetzung: $f$ $zweimal differenzierbar auf dem Intervall$ $I$

$f''$: zweite Ableitung von f
$I$: Intervall, auf dem das Krümmungsverhalten untersucht wird

Ist die zweite Ableitung auf einem Intervall positiv, ist der Graph dort eine Linkskurve, ist sie negativ, eine Rechtskurve.

Graph von f(x) = x³ − 3x, für x < 0 eine Rechtskurve, für x > 0 eine Linkskurve, mit dem Wendepunkt W(0 | 0)

Erklärung

Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung ändert. Daraus liest man die Krümmung des Graphen ab:

$f''(x) > 0$ auf $I$ : Die Steigung nimmt zu. Der Graph ist eine Linkskurve (linksgekrümmt, konvex).
$f''(x) < 0$ auf $I$ : Die Steigung nimmt ab. Der Graph ist eine Rechtskurve (rechtsgekrümmt, konkav).

Anschaulich: Fährt man mit dem Fahrrad in Richtung wachsender $x$ -Werte über den Graphen, muss man bei einer Linkskurve nach links lenken.

Das Kriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig. Einzelne Stellen mit $f''(x) = 0$ können in einer Linkskurve liegen, z.B. bei $f(x) = x^4$ an der Stelle $0$ .

Eine Linkskurve liegt oberhalb jeder ihrer Tangenten und unterhalb jeder Sekante zwischen zwei ihrer Punkte, bei einer Rechtskurve ist es umgekehrt. Die Stellen, an denen die Krümmung wechselt, sind die Wendestellen.

Beispiele

$f(x) = x^3 - 3x$ mit $f''(x) = 6x$ . Für $x < 0$ ist $f''(x) < 0$ , z.B. $f''(-1) = -6$ : Rechtskurve. Für $x > 0$ ist $f''(x) > 0$ , z.B. $f''(2) = 12$ : Linkskurve. Bei $x = 0$ wechselt die Krümmung, dort liegt die Wendestelle.

$f(x) = -x^2 + 4x$ mit $f''(x) = -2 < 0$ ist überall eine Rechtskurve. Die Sekante durch $(1 \mid 3)$ und $(3 \mid 3)$ verläuft auf der Höhe $3$ , der Graph liegt dazwischen darüber, z.B. $f(2) = 4$ .

$f(x) = x^4$ mit $f''(x) = 12x^2$ . Es gilt $f''(0) = 0$ , aber $f''(x) > 0$ für alle $x \neq 0$ . Der Graph ist überall eine Linkskurve, $0$ ist keine Wendestelle.

Typische Fehler

Krümmung und Monotonie verwechseln. Eine Linkskurve kann fallen, z.B. $x^2$ für $x < 0$ . Für die Monotonie ist $f'$ zuständig, für die Krümmung $f''$ .
Links- und Rechtskurve vertauschen. Merkhilfe: $f''(x) > 0$ wie bei der nach oben offenen Normalparabel, Linkskurve.
Aus $f''(x_0) = 0$ auf einen Krümmungswechsel schließen, ohne das Vorzeichen von $f''$ links und rechts zu prüfen.

Krümmungsverhalten