Wendetangente

Erklärung

Die Wendetangente ist die Tangente an den Graphen im Wendepunkt $W(x_W \mid f(x_W))$. Man stellt sie in drei Schritten auf:

1. Wendestelle $x_W$ bestimmen: $f''(x_W) = 0$ und $f'''(x_W) \neq 0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f''$).
2. $f(x_W)$ und die Steigung $f'(x_W)$ berechnen.
3. Beides in die Tangentengleichung einsetzen.

Im Unterschied zu anderen Tangenten durchsetzt die Wendetangente den Graphen: Auf der einen Seite liegt der Graph oberhalb, auf der anderen unterhalb. Im Wendepunkt ist die Steigung lokal am größten oder am kleinsten, die Wendetangente ist also die steilste oder flachste Tangente in der Umgebung.

Ist $f'(x_W) = 0$, ist die Wendetangente waagerecht, und der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt.

Die Wendenormale steht im Wendepunkt senkrecht auf der Wendetangente. Für $f'(x_W) \neq 0$ hat sie die Steigung $-\frac{1}{f'(x_W)}$.

Beispiele

$f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1$ mit $f'(x) = -3x^2 + 6x$, $f''(x) = -6x + 6$ und $f'''(x) = -6$.

Aus $f''(x) = 0$ folgt $x_W = 1$, und $f'''(1) = -6 \neq 0$. Mit $f(1) = 3$ und $f'(1) = 3$:

Die Wendetangente geht hier durch den Ursprung. Die Differenz $f(x) - t_W(x) = -(x - 1)^3$ wechselt bei $x = 1$ das Vorzeichen, der Graph durchsetzt die Tangente also wirklich.

Die Wendenormale hat die Steigung $-\frac{1}{3}$:

Bei $f(x) = x^3$ ist $x_W = 0$, $f(0) = 0$ und $f'(0) = 0$. Die Wendetangente ist die x-Achse $y = 0$, der Ursprung ein Sattelpunkt.

Typische Fehler

• Die Steigung mit $f''(x_W)$ statt mit $f'(x_W)$ berechnen. $f''(x_W)$ ist im Wendepunkt immer $0$.
• Den y-Wert $f(x_W)$ vergessen oder in einer Ableitung statt in $f$ berechnen.
• Bei der Wendenormale nur das Vorzeichen der Steigung umdrehen. Richtig ist der negative Kehrwert.