Logarithmische Integration

Studium

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\left|f(x)\right| + C

Voraussetzung: $f$ $stetig$ $differenzierbar$ $,$ $f(x) \neq 0$ $im Integrationsbereich$

$f$: differenzierbare Funktion im Nenner
$f'$: Ableitung von f im Zähler
$\ln$: natürlicher Logarithmus
$C$: Integrationskonstante

Ist der Zähler eines Bruchs die Ableitung des Nenners, ist der Logarithmus des Nennerbetrags eine Stammfunktion.

Erklärung

Steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, ist die Stammfunktion der Logarithmus des Nenners. Das folgt aus der Kettenregel: Die Ableitung von $\ln|f(x)|$ ist $\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$ .

Die Regel ist ein Spezialfall der Substitution mit $t = f(x)$ , $dt = f'(x)\,dx$ :

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t| + C

Der Betrag ist nötig, weil $f(x)$ negativ sein kann. Der Integrationsbereich darf keine Nullstelle von $f$ enthalten.

Passt der Zähler nur bis auf einen konstanten Faktor, gleicht man ihn vor dem Integral aus.

Beispiele

Der Nenner $x^2 + 1$ hat die Ableitung $2x$ , und er ist immer positiv:

\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 \approx 0{,}6931

Mit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{(\cos x)'}{\cos x}$ folgt $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ für $\cos x \neq 0$ :

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx = -\ln\left(\cos \frac{\pi}{4}\right) + \ln(\cos 0) = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0{,}3466

Fehlt ein konstanter Faktor, ergänzt man ihn:

\int \frac{x}{x^2 + 4}\,dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) + C

Typische Fehler

Die Regel anwenden, obwohl der Zähler nicht die Ableitung des Nenners ist: $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx \neq \ln(x^2 + 1) + C$ . Richtig ist $\arctan x + C$ , also $\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$ .
Den Betrag weglassen, obwohl der Nenner negativ werden kann.
Über eine Nullstelle des Nenners hinweg integrieren.

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