Geometrie

Außenwinkelsatz

Unterstufe

\alpha' = \beta + \gamma

$\alpha'$: Außenwinkel an der Ecke A, Nebenwinkel des Innenwinkels α
$\beta, \gamma$: die beiden Innenwinkel an den anderen Ecken B und C

Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.

Diagonale eines Quadrats

Mittelstufe

d = a \sqrt{2}

Voraussetzung: $a > 0$

$d$: Länge der Diagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken
$a$: Seitenlänge des Quadrats

Die Diagonale eines Quadrats ist die Seitenlänge mal Wurzel aus 2.

Diagonale eines Rechtecks

Mittelstufe

d = \sqrt{a^2 + b^2}

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0$

$d$: Länge der Diagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken
$a$: Länge des Rechtecks
$b$: Breite des Rechtecks

Die Diagonale eines Rechtecks ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Länge und Breite.

Flächen- und Volumenverhältnis ähnlicher Figuren

Mittelstufe

A' = k^2 \cdot A,\quad V' = k^3 \cdot V

Voraussetzung: $k > 0$

$k$: Streckfaktor, das Verhältnis entsprechender Längen (Bildlänge durch Originallänge)
$A, A'$: Flächeninhalt der Originalfigur und der ähnlichen Bildfigur
$V, V'$: Volumen des Originalkörpers und des ähnlichen Bildkörpers

Werden alle Längen mit k multipliziert, wächst die Fläche mit k² und das Volumen mit k³.

Flächeninhalt einer Ellipse

Oberstufe

A = \pi a b

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0$

$A$: Flächeninhalt der Ellipse
$a$: große Halbachse, halbe Länge der Ellipse
$b$: kleine Halbachse, halbe Breite der Ellipse
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b hat den Flächeninhalt π mal a mal b.

Flächeninhalt einer Raute

Unterstufe

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

$A$: Flächeninhalt
$e, f$: Längen der beiden Diagonalen

Der Flächeninhalt einer Raute ist das halbe Produkt ihrer beiden Diagonalen.

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Unterstufe

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

$A$: Flächeninhalt
$e, f$: Längen der beiden Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ist das halbe Produkt seiner beiden Diagonalen.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Unterstufe

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

$A$: Flächeninhalt
$g$: Grundseite, eine beliebige Seite des Dreiecks
$h$: Höhe, der senkrechte Abstand der gegenüberliegenden Ecke von der Grundseite

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte von Grundseite mal zugehöriger Höhe.

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks

Mittelstufe

A = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$a$: Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite a hat den Flächeninhalt a² geteilt durch 4 mal Wurzel aus 3.

Flächeninhalt eines Kreises

Mittelstufe

A = \pi r^2

$A$: Flächeninhalt des Kreises
$r$: Radius, der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat.

Flächeninhalt eines Kreisrings

Mittelstufe

A = \pi \left(r_a^2 - r_i^2\right)

Voraussetzung: $r_a > r_i \geq 0$

$A$: Flächeninhalt des Kreisrings
$r_a$: Radius des äußeren Kreises
$r_i$: Radius des inneren Kreises (des Lochs)
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Die Fläche eines Kreisrings ist die Fläche des äußeren Kreises minus die Fläche des inneren Kreises.

Flächeninhalt eines Kreissegments

Oberstufe

A = \frac{r^2}{2} \left(\alpha - \sin \alpha\right)

Voraussetzung: $0 < \alpha < 2\pi,$ $\alpha$ $im Bogenmaß$

$A$: Flächeninhalt des Kreissegments
$r$: Radius des Kreises
$\alpha$: Mittelpunktswinkel über der Sehne, im Bogenmaß

Ein Kreissegment ist die Fläche zwischen Sehne und Bogen; sie ist der Kreissektor minus das Dreieck zum Mittelpunkt.

Flächeninhalt eines Kreissektors

Mittelstufe

A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

Voraussetzung: $0^\circ < \alpha \leq 360^\circ$

$A$: Flächeninhalt des Kreissektors
$\alpha$: Mittelpunktswinkel in Grad
$r$: Radius des Kreises
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Ein Kreissektor ist der Anteil α/360° von der ganzen Kreisfläche πr².

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Unterstufe

A = g \cdot h

$A$: Flächeninhalt
$g$: Grundseite, eine Seite des Parallelogramms
$h$: Höhe, der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist Grundseite mal zugehöriger Höhe.

Flächeninhalt eines Quadrats

Unterstufe

A = a^2

$A$: Flächeninhalt
$a$: Seitenlänge des Quadrats

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist die Seitenlänge mal sich selbst.

Flächeninhalt eines Rechtecks

Unterstufe

A = a \cdot b

$A$: Flächeninhalt
$a$: Länge des Rechtecks
$b$: Breite des Rechtecks

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite.

Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks

Oberstufe

A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}

Voraussetzung: $n \ge 3$

$A$: Flächeninhalt
$n$: Anzahl der Ecken (und Seiten)
$a$: Seitenlänge

Ein regelmäßiges n-Eck mit der Seitenlänge a zerfällt in n gleiche Dreiecke; daraus folgt seine Fläche.

Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks

Mittelstufe

A = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$A$: Flächeninhalt des Sechsecks
$a$: Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, seine Fläche ist 3/2 · a² · √3.

Flächeninhalt eines Trapezes

Unterstufe

A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

$A$: Flächeninhalt
$a, c$: die beiden parallelen Seiten des Trapezes
$h$: Höhe, der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten

Der Flächeninhalt eines Trapezes ist der Mittelwert der parallelen Seiten mal der Höhe.

Höhe im gleichseitigen Dreieck

Mittelstufe

h = \frac{a}{2} \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$h$: Höhe, der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite
$a$: Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist die halbe Seitenlänge mal Wurzel aus 3.

Höhensatz

Mittelstufe

h^2 = p \cdot q

Voraussetzung: $\gamma = 90^\circ$

$h$: Höhe auf die Hypotenuse, vom rechten Winkel senkrecht auf c
$p$: an der Kathete a anliegender Hypotenusenabschnitt
$q$: an der Kathete b anliegender Hypotenusenabschnitt
$\gamma$: Winkel bei C, gegenüber der Hypotenuse c

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.

Inkreisradius eines Dreiecks

Oberstufe

r = \frac{A}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}

$r$: Radius des Inkreises
$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$s$: halber Umfang des Dreiecks
$a, b, c$: Seitenlängen des Dreiecks

Der Radius des Inkreises ist der Flächeninhalt des Dreiecks geteilt durch den halben Umfang.

Innenwinkelsumme im Vieleck

Unterstufe

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

Voraussetzung: $n \geq 3$

$S$: Summe aller Innenwinkel
$n$: Anzahl der Ecken

Die Innenwinkel eines Vielecks mit n Ecken ergeben zusammen (n − 2) · 180°.

Kathetensatz

Mittelstufe

a^2 = c \cdot p

Voraussetzung: $\gamma = 90^\circ$

$a$: Kathete, eine Seite am rechten Winkel
$c$: Hypotenuse, die Seite gegenüber dem rechten Winkel
$p$: an der Kathete a anliegender Hypotenusenabschnitt
$\gamma$: Winkel bei C, gegenüber der Hypotenuse c

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Kathetenquadrat gleich Hypotenuse mal anliegendem Hypotenusenabschnitt.

Kreisgleichung

Oberstufe

(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2

Voraussetzung: $r > 0$

$x, y$: Koordinaten eines Punkts auf dem Kreis
$x_M, y_M$: Koordinaten des Mittelpunkts M(x_M | y_M)
$r$: Radius des Kreises

Ein Punkt (x | y) liegt genau dann auf dem Kreis um M mit Radius r, wenn sein Abstand zu M gleich r ist.

Kugelkappe und Kugelsegment

Oberstufe

V = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h), \qquad M = 2 \pi r h

Voraussetzung: $0 < h \le 2r$

$V$: Volumen des Kugelsegments
$M$: Flächeninhalt der gewölbten Fläche (Kugelkappe), ohne Grundkreis
$r$: Radius der Kugel
$h$: Höhe des Segments, vom Grundkreis bis zum Pol

Volumen und gewölbte Fläche eines Stücks, das eine Ebene von einer Kugel abschneidet.

Länge eines Kreisbogens

Mittelstufe

b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r

Voraussetzung: $0^\circ < \alpha \leq 360^\circ$

$b$: Länge des Kreisbogens
$\alpha$: Mittelpunktswinkel in Grad
$r$: Radius des Kreises
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Ein Kreisbogen ist der Anteil α/360° vom ganzen Kreisumfang 2πr.

Oberfläche einer Kugel

Mittelstufe

O = 4 \pi r^2

$O$: Oberflächeninhalt der Kugel
$r$: Radius der Kugel
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Fläche ihres größten Querschnittskreises.

Oberfläche einer quadratischen Pyramide

Mittelstufe

O = a^2 + 2 a h_s

Voraussetzung: $a > 0,$ $h_s > \frac{a}{2},$ $gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche$

$O$: Oberfläche, die Summe aller Flächen der Pyramide
$a$: Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
$h_s$: Höhe einer dreieckigen Seitenfläche (von der Mitte einer Grundkante zur Spitze)

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist die Grundfläche a² plus vier gleiche Dreiecke mit zusammen 2·a·hₛ.

Oberfläche eines Kegels

Mittelstufe

O = \pi r^2 + \pi r s

$O$: Oberflächeninhalt des Kegels
$r$: Radius der Grundfläche
$s$: Mantellinie, die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Die Oberfläche eines geraden Kreiskegels ist Grundkreis πr² plus Mantelfläche πrs.

Oberfläche eines Kegelstumpfs

Oberstufe

\begin{gathered} O = \pi \left(R^2 + r^2 + (R + r)\, s\right) \\ s = \sqrt{(R - r)^2 + h^2} \end{gathered}

Voraussetzung: $R > r > 0$

$O$: Oberfläche (Grundkreis, Deckkreis und Mantel)
$R$: Radius des Grundkreises
$r$: Radius des Deckkreises
$s$: Mantellinie, die schräge Seitenlänge
$h$: Höhe des Stumpfs

Die Oberfläche eines Kegelstumpfs besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel π(R + r)s.

Oberfläche eines Prismas

Mittelstufe

O = 2 \cdot G + u \cdot h

Voraussetzung: $gerades Prisma$

$O$: Oberfläche
$G$: Flächeninhalt der Grundfläche
$u$: Umfang der Grundfläche
$h$: Höhe des Prismas

Die Oberfläche eines geraden Prismas besteht aus Grund- und Deckfläche und dem Mantel Umfang mal Höhe.

Oberfläche eines Quaders

Unterstufe

O = 2 \cdot (ab + ac + bc)

$O$: Oberflächeninhalt, die Fläche aller sechs Seiten zusammen
$a$: Länge des Quaders
$b$: Breite des Quaders
$c$: Höhe des Quaders

Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe seiner sechs Rechtecke, je zwei davon sind gleich.

Oberfläche eines Würfels

Unterstufe

O = 6a^2

$O$: Oberflächeninhalt, die Fläche aller sechs Seiten zusammen
$a$: Kantenlänge des Würfels

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus sechs gleichen Quadraten, also 6 mal a².

Oberfläche eines Zylinders

Mittelstufe

O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h

$O$: Oberflächeninhalt des Zylinders
$r$: Radius der Grundfläche
$h$: Höhe des Zylinders
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel, einem aufgerollten Rechteck.

Raumdiagonale eines Quaders

Mittelstufe

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0,$ $c > 0$

$d$: Länge der Raumdiagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken durch das Innere
$a, b, c$: Länge, Breite und Höhe des Quaders

Die Raumdiagonale eines Quaders ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Länge, Breite und Höhe.

Raumdiagonale eines Würfels

Mittelstufe

d = a \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$d$: Länge der Raumdiagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken durch das Innere
$a$: Kantenlänge des Würfels

Die Raumdiagonale eines Würfels ist die Kantenlänge mal Wurzel aus 3.

Satz des Heron

Oberstufe

\begin{gathered} A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\ s = \frac{a + b + c}{2} \end{gathered}

Voraussetzung: $a, b, c > 0,$ $a + b > c,$ $a + c > b,$ $b + c > a$

$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$a, b, c$: die drei Seitenlängen des Dreiecks
$s$: halber Umfang des Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich allein aus den drei Seitenlängen über den halben Umfang berechnen.

Satz des Pythagoras

Mittelstufe

a^2 + b^2 = c^2

Voraussetzung: $\gamma = 90^\circ$

$a, b$: Katheten, die beiden Seiten am rechten Winkel
$c$: Hypotenuse, die Seite gegenüber dem rechten Winkel
$\gamma$: Winkel gegenüber von c (der rechte Winkel)

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

Satz des Thales

Mittelstufe

\gamma = 90^\circ

Voraussetzung: $C$ $liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser$ $\overline{AB},$ $C \neq A,$ $C \neq B$

$A, B$: Endpunkte eines Durchmessers des Kreises
$C$: beliebiger weiterer Punkt auf dem Kreis
$\gamma$: Winkel des Dreiecks ABC bei C

Liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel.

Schwerpunkt eines Dreiecks

Mittelstufe

S\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \,\middle|\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

$S$: Schwerpunkt des Dreiecks
$x_A, y_A$: Koordinaten der Ecke A
$x_B, y_B, x_C, y_C$: Koordinaten der Ecken B und C

Der Schwerpunkt eines Dreiecks hat als Koordinaten die Mittelwerte der drei Eckpunkt-Koordinaten.

Sehnensatz

Oberstufe

\overline{SA} \cdot \overline{SB} = \overline{SC} \cdot \overline{SD}

Voraussetzung: $S$ $liegt im Inneren des Kreises$

$S$: Schnittpunkt der beiden Sehnen
$\overline{SA}, \overline{SB}$: Längen der beiden Abschnitte der ersten Sehne AB
$\overline{SC}, \overline{SD}$: Längen der beiden Abschnitte der zweiten Sehne CD

Schneiden sich zwei Sehnen eines Kreises, ist das Produkt der Abschnitte bei beiden Sehnen gleich.

Sekanten-Tangenten-Satz

Oberstufe

\overline{PT}^{\,2} = \overline{PA} \cdot \overline{PB}

Voraussetzung: $P$ $liegt außerhalb des Kreises$

$P$: Punkt außerhalb des Kreises
$T$: Berührpunkt einer Tangente von P an den Kreis
$A, B$: die beiden Schnittpunkte einer Sekante durch P mit dem Kreis, A liegt näher an P

Von einem Punkt außerhalb des Kreises ist das Quadrat des Tangentenabschnitts gleich dem Produkt der Sekantenabschnitte.

Strahlensatz

Mittelstufe

\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}} = \frac{\overline{SB_2}}{\overline{SB_1}}

Voraussetzung: $A_1B_1 \parallel A_2B_2$

$S$: Scheitelpunkt, in dem die beiden Strahlen beginnen
$A_1, A_2$: Schnittpunkte der beiden Parallelen mit dem ersten Strahl
$B_1, B_2$: Schnittpunkte der beiden Parallelen mit dem zweiten Strahl
$\overline{SA_1}, \overline{SA_2}, \overline{SB_1}, \overline{SB_2}$: Längen der Strecken vom Scheitelpunkt S bis zu den Schnittpunkten

Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, stehen die Abschnitte auf beiden Strahlen im gleichen Verhältnis.

Umfang einer Ellipse (Näherung)

Oberstufe

U \approx \pi \left(3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right)

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0$

$U$: Umfang der Ellipse
$a, b$: die beiden Halbachsen, also halbe Länge und halbe Breite der Ellipse

Für den Umfang einer Ellipse gibt es keine einfache exakte Formel; die Näherung von Ramanujan ist sehr genau.

Umfang eines Dreiecks

Unterstufe

U = a + b + c

$U$: Umfang, die Länge des ganzen Randes
$a, b, c$: die drei Seitenlängen des Dreiecks

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen.

Umfang eines Kreises

Mittelstufe

U = 2 \pi r

$U$: Umfang des Kreises, die Länge der Kreislinie
$r$: Radius, der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Der Umfang eines Kreises ist 2 mal π mal Radius, also π mal Durchmesser.

Umfang eines Parallelogramms

Unterstufe

u = 2 \cdot (a + b)

$u$: Umfang, die Länge des ganzen Rands
$a, b$: die Längen zweier Seiten, die an einer Ecke zusammenstoßen

Der Umfang eines Parallelogramms ist das Doppelte der Summe zweier benachbarter Seiten.

Umfang eines Quadrats

Unterstufe

U = 4a

$U$: Umfang, die Länge des ganzen Randes
$a$: Seitenlänge des Quadrats

Der Umfang eines Quadrats ist viermal die Seitenlänge.

Umfang eines Rechtecks

Unterstufe

U = 2a + 2b

$U$: Umfang, die Länge des ganzen Randes
$a$: Länge des Rechtecks
$b$: Breite des Rechtecks

Der Umfang eines Rechtecks ist zweimal die Länge plus zweimal die Breite.

Umfang eines Trapezes

Unterstufe

u = a + b + c + d

$u$: Umfang, die Länge des ganzen Rands
$a, c$: die beiden parallelen Seiten (Grundseiten)
$b, d$: die beiden Schenkel, die die Grundseiten verbinden

Der Umfang eines Trapezes ist die Summe seiner vier Seitenlängen.

Umfangswinkelsatz

Mittelstufe

\alpha = \frac{\mu}{2}

Voraussetzung: $Scheitel von$ $\alpha$ $auf dem Kreisbogen, der$ $\mu$ $gegenüberliegt$

$\alpha$: Umfangswinkel, sein Scheitel liegt auf dem Kreis, seine Schenkel gehen durch die Enden der Sehne
$\mu$: Mittelpunktswinkel, sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt, er steht über demselben Bogen