Raumdiagonale eines Würfels

Mittelstufe

d = a \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$d$: Länge der Raumdiagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken durch das Innere
$a$: Kantenlänge des Würfels

Die Raumdiagonale eines Würfels ist die Kantenlänge mal Wurzel aus 3.

Würfel mit der Kantenlänge a und der Raumdiagonale d durch das Innere

Erklärung

Die Raumdiagonale eines Würfels führt durch das Innere von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Weil beim Würfel alle Kanten gleich lang sind, hängt sie nur von der Kantenlänge $a$ ab. Der Faktor $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ gilt für jeden Würfel.

Zum Vergleich: Die Flächendiagonale auf einer Seitenfläche ist $a\sqrt{2}$ , also kürzer.

Rückwärts erhält man die Kantenlänge aus der Raumdiagonale:

a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d \sqrt{3}}{3}

Herleitung

Die Flächendiagonale $a\sqrt{2}$ , eine senkrechte Kante $a$ und die Raumdiagonale $d$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras:

d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \quad\Rightarrow\quad d = a\sqrt{3}

Beispiele

Ein Würfel hat die Kantenlänge $4\,\text{cm}$ :

d = 4\sqrt{3}\,\text{cm} = \sqrt{48}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}

Die Raumdiagonale eines Würfels ist $9\,\text{cm}$ lang. Die Kantenlänge ist:

a = \frac{9}{\sqrt{3}}\,\text{cm} = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}

Typische Fehler

Die Flächendiagonale $a\sqrt{2}$ mit der Raumdiagonale verwechseln. Für $a = 4\,\text{cm}$ wäre das $5{,}66\,\text{cm}$ statt $6{,}93\,\text{cm}$ .
$d = 3a$ rechnen. Richtig ist der Faktor $\sqrt{3}$ , nicht $3$ .
Beim Rückwärtsrechnen mit $\sqrt{3}$ multiplizieren statt durch $\sqrt{3}$ zu teilen.

Raumdiagonale eines Würfels