Umfang einer Ellipse (Näherung)

Oberstufe

U \approx \pi \left(3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right)

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0$

$U$: Umfang der Ellipse
$a, b$: die beiden Halbachsen, also halbe Länge und halbe Breite der Ellipse

Für den Umfang einer Ellipse gibt es keine einfache exakte Formel; die Näherung von Ramanujan ist sehr genau.

Ellipse mit den Halbachsen a und b, der Umfang U ist die Länge der Ellipsenlinie

Erklärung

Anders als für die Fläche $A = \pi a b$ gibt es für den Umfang einer Ellipse keine Formel aus Grundrechenarten und Wurzeln. Der exakte Wert ist ein sogenanntes elliptisches Integral und lässt sich nur numerisch berechnen.

Die Näherung des Mathematikers Ramanujan ist für kreisähnliche Ellipsen sehr genau. Selbst im Extremfall einer völlig flachgedrückten Ellipse ( $b \to 0$ ) liegt der Fehler unter einem halben Prozent.

Für einen Kreis ( $a = b = r$ ) liefert sie genau $2\pi r$ .

Beispiele

Ellipse mit den Halbachsen $a = 5\,\text{cm}$ und $b = 3\,\text{cm}$ :

U \approx \pi \left(3 \cdot 8 - \sqrt{18 \cdot 14}\right) = \pi \left(24 - \sqrt{252}\right) \approx 25{,}53\,\text{cm}

Der exakte Umfang stimmt auf die angegebenen Stellen überein. Die grobe Schätzung $\pi(a + b) = 8\pi \approx 25{,}13\,\text{cm}$ ist dagegen zu klein.

Typische Fehler

Ganze Achsen statt Halbachsen einsetzen. $a$ und $b$ sind die Abstände vom Mittelpunkt zum Rand.
Die Flächenformel $\pi a b$ für den Umfang halten.
$\pi(a + b)$ als genauen Wert ansehen. Diese Schätzung ist immer zu klein, außer beim Kreis.

Umfang einer Ellipse (Näherung)