Oberfläche einer quadratischen Pyramide

Mittelstufe

O = a^2 + 2 a h_s

Voraussetzung: $a > 0,$ $h_s > \frac{a}{2},$ $gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche$

$O$: Oberfläche, die Summe aller Flächen der Pyramide
$a$: Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
$h_s$: Höhe einer dreieckigen Seitenfläche (von der Mitte einer Grundkante zur Spitze)

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist die Grundfläche a² plus vier gleiche Dreiecke mit zusammen 2·a·hₛ.

Gerade quadratische Pyramide mit der Grundkante a und der Höhe hₛ einer Seitenfläche

Erklärung

Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfläche, und die Spitze liegt genau über dessen Mitte. Ihre Oberfläche besteht aus:

der Grundfläche: ein Quadrat mit $a^2$
der Mantelfläche: vier gleiche gleichschenklige Dreiecke mit Grundseite $a$ und Höhe $h_s$ , zusammen $M = 4 \cdot \frac{1}{2} a h_s = 2 a h_s$

Wichtig ist der Unterschied zwischen zwei Höhen: $h_s$ ist die Höhe einer Seitenfläche (schräg), $h$ ist die Höhe der Pyramide (senkrecht). Kennt man nur $h$ , bestimmt man $h_s$ mit dem Satz des Pythagoras:

h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}

Beispiele

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante $a = 6\,\text{cm}$ und die Seitenflächenhöhe $h_s = 5\,\text{cm}$ :

O = 6^2\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 6 \cdot 5\,\text{cm}^2 = 36\,\text{cm}^2 + 60\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2

Ist statt $h_s$ die Körperhöhe $h = 4\,\text{cm}$ gegeben (bei $a = 6\,\text{cm}$ ), rechnet man zuerst:

h_s = \sqrt{4^2 + 3^2}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}

und erhält dieselbe Oberfläche wie oben.

Ein pyramidenförmiges Zeltdach hat die Grundkante $10\,\text{m}$ und die Seitenflächenhöhe $13\,\text{m}$ . Da es keinen Boden braucht, zählt nur die Mantelfläche:

M = 2 \cdot 10 \cdot 13\,\text{m}^2 = 260\,\text{m}^2

Typische Fehler

Die Körperhöhe $h$ statt der Seitenflächenhöhe $h_s$ einsetzen. Im ersten Beispiel käme $36 + 2 \cdot 6 \cdot 4 = 84$ statt $96$ heraus.
Beim Dreieck den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen und $4 a h_s$ rechnen.
Die Grundfläche vergessen oder bei offenen Körpern (Dach, Zelt) mitzählen. Erst überlegen, welche Flächen gefragt sind.

Oberfläche einer quadratischen Pyramide