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Sehnensatz

Sehnensatz

Oberstufe
SA‾⋅SB‾=SC‾⋅SD‾\overline{SA} \cdot \overline{SB} = \overline{SC} \cdot \overline{SD}

Voraussetzung: SS liegt im Inneren des Kreises

SS
Schnittpunkt der beiden Sehnen
SA‾,SB‾\overline{SA}, \overline{SB}
Längen der beiden Abschnitte der ersten Sehne AB
SC‾,SD‾\overline{SC}, \overline{SD}
Längen der beiden Abschnitte der zweiten Sehne CD

Schneiden sich zwei Sehnen eines Kreises, ist das Produkt der Abschnitte bei beiden Sehnen gleich.

ABCDS
Zwei Sehnen AB und CD eines Kreises schneiden sich im Punkt S

Erklärung

Zwei Sehnen ABAB und CDCD eines Kreises schneiden sich im Punkt SS. Jede Sehne wird dadurch in zwei Abschnitte geteilt. Der Sehnensatz sagt: Das Produkt der beiden Abschnitte ist bei beiden Sehnen gleich.

Das Produkt hängt nur vom Punkt SS ab, nicht von der Richtung der Sehne. Liegt SS im Abstand dd vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius rr, gilt für jede Sehne durch SS:

SA‾⋅SB‾=r2−d2\overline{SA} \cdot \overline{SB} = r^2 - d^2

Herleitung

Die Dreiecke ASCASC und DSBDSB sind ähnlich: Die Winkel bei SS sind Scheitelwinkel, und die Winkel bei AA und DD stehen als Umfangswinkel über demselben Bogen BCBC. Aus der Ähnlichkeit folgt

SA‾SD‾=SC‾SB‾⇒SA‾⋅SB‾=SC‾⋅SD‾\frac{\overline{SA}}{\overline{SD}} = \frac{\overline{SC}}{\overline{SB}} \quad\Rightarrow\quad \overline{SA} \cdot \overline{SB} = \overline{SC} \cdot \overline{SD}

Beispiele

Eine Sehne wird von SS in die Abschnitte 4 cm4\,\text{cm} und 6 cm6\,\text{cm} geteilt. Eine zweite Sehne durch SS hat einen Abschnitt von 3 cm3\,\text{cm}. Der andere ist

SD‾=4⋅63=8 cm\overline{SD} = \frac{4 \cdot 6}{3} = 8\,\text{cm}

Kreis mit Radius 55 um den Ursprung, S(1∣2)S(1 \mid 2). Die waagerechte Sehne durch SS hat die Enden x=±21x = \pm\sqrt{21}, die senkrechte die Enden y=±24y = \pm\sqrt{24}:

(21−1)(21+1)=20=(24−2)(24+2)\left(\sqrt{21} - 1\right)\left(\sqrt{21} + 1\right) = 20 = \left(\sqrt{24} - 2\right)\left(\sqrt{24} + 2\right)

Das stimmt mit r2−d2=25−5=20r^2 - d^2 = 25 - 5 = 20 überein.

Typische Fehler

  • Die Abschnitte über Kreuz multiplizieren, also SA‾⋅SC‾\overline{SA} \cdot \overline{SC}. Multipliziert werden die beiden Teile derselben Sehne.
  • Ganze Sehnenlängen statt Abschnitte einsetzen.
  • Den Satz anwenden, wenn sich die Geraden außerhalb des Kreises schneiden. Dann gilt der Sekantensatz.

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