Flächeninhalt einer Ellipse

Oberstufe

A = \pi a b

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0$

$A$: Flächeninhalt der Ellipse
$a$: große Halbachse, halbe Länge der Ellipse
$b$: kleine Halbachse, halbe Breite der Ellipse
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b hat den Flächeninhalt π mal a mal b.

Ellipse mit den Halbachsen a und b, die Fläche A ist hervorgehoben

Erklärung

Eine Ellipse ist ein gleichmäßig gestreckter Kreis. Sie hat zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen. Die halbe Länge der längeren Achse heißt große Halbachse $a$ , die halbe Länge der kürzeren Achse kleine Halbachse $b$ .

Die Formel verallgemeinert die Kreisfläche $\pi r^2$ : Beim Kreis sind beide Halbachsen gleich dem Radius, $a = b = r$ , und man erhält $\pi r \cdot r = \pi r^2$ .

Für den Umfang einer Ellipse gibt es dagegen keine geschlossene Formel aus elementaren Funktionen (er führt auf ein sogenanntes elliptisches Integral). Man rechnet mit Näherungsformeln.

Herleitung

In Koordinaten wird eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung durch $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ beschrieben. Man erhält sie aus dem Kreis mit Radius $a$ , indem man alle $y$ -Werte mit dem Faktor $\frac{b}{a}$ multipliziert. Dabei ändert sich jede Fläche um denselben Faktor:

A = \pi a^2 \cdot \frac{b}{a} = \pi a b

Beispiele

Eine Ellipse hat die Halbachsen $a = 5\,\text{cm}$ und $b = 3\,\text{cm}$ :

A = \pi \cdot 5 \cdot 3\,\text{cm}^2 = 15\pi\,\text{cm}^2 \approx 47{,}12\,\text{cm}^2

Ein ovaler Tisch ist $1{,}20\,\text{m}$ lang und $0{,}80\,\text{m}$ breit. Die Halbachsen sind $0{,}6\,\text{m}$ und $0{,}4\,\text{m}$ :

A = \pi \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4\,\text{m}^2 = 0{,}24\pi\,\text{m}^2 \approx 0{,}754\,\text{m}^2

Typische Fehler

Die ganzen Achsen statt der Halbachsen einsetzen. Das ergibt das Vierfache, beim Tisch $\pi \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96\pi$ statt $0{,}24\pi$ .
Wie beim Kreis quadrieren: $\pi a^2$ oder $\pi b^2$ ist nur richtig, wenn die Ellipse ein Kreis ist.
Jedes Oval für eine Ellipse halten. Ei- oder Stadionformen sind keine Ellipsen, dort gilt die Formel nicht.

Flächeninhalt einer Ellipse