Kreisgleichung

Erklärung

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ den gleichen Abstand $r$ haben. Setzt man diesen Abstand mit der Abstandsformel (Satz des Pythagoras) gleich $r$ und quadriert, erhält man die Kreisgleichung.

Für einen Punkt $P(x \mid y)$ gilt:

• $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2$: $P$ liegt auf dem Kreis.
• $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 < r^2$: $P$ liegt innerhalb.
• $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 > r^2$: $P$ liegt außerhalb.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sich die Gleichung zu $x^2 + y^2 = r^2$.

Multipliziert man aus, erhält man die allgemeine Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Mittelpunkt und Radius liest man daraus ab, indem man für $x$ und $y$ jeweils quadratisch ergänzt. Das ergibt nur dann einen Kreis, wenn die rechte Seite danach positiv ist; sonst ist die Lösungsmenge ein einzelner Punkt oder leer.

Beispiele

Kreis um $M(2 \mid -1)$ mit Radius $3$:

Die Punkte $(5 \mid -1)$ und $(2 \mid 2)$ liegen darauf: $3^2 + 0^2 = 9$ und $0^2 + 3^2 = 9$. Der Punkt $(4 \mid 1)$ liegt innerhalb, denn $2^2 + 2^2 = 8 < 9$.

Mittelpunkt und Radius von $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ durch quadratische Ergänzung:

Also $M(2 \mid -3)$ und $r = 5$.

Typische Fehler

• Das Vorzeichen des Mittelpunkts falsch ablesen: $(x + 2)^2$ bedeutet $x_M = -2$, nicht $+2$.
• $r$ statt $r^2$ auf die rechte Seite schreiben. Bei $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ ist der Radius $3$, nicht $9$.
• Bei der quadratischen Ergänzung die ergänzten Zahlen nur links addieren. Sie müssen auf beiden Seiten stehen.