Satz des Thales

Erklärung

Zeichnet man über einer Strecke $\overline{AB}$ einen Halbkreis und wählt darauf einen Punkt $C$, dann ist der Winkel bei $C$ im Dreieck $ABC$ immer ein rechter Winkel, egal wo $C$ auf dem Kreis liegt. Dieser Kreis heißt Thaleskreis.

Auch die Umkehrung gilt: Hat ein Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel, liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$. Daraus folgt:

• Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.
• Der Umkreisradius ist die halbe Hypotenuse.

Anwendung: rechtwinklige Dreiecke konstruieren und Tangenten von einem Punkt an einen Kreis zeichnen.

Herleitung

Sei $M$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$. Die Strecken $\overline{MA}$, $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ sind alle Radien, also gleich lang. Damit zerfällt das Dreieck $ABC$ in zwei gleichschenklige Dreiecke $AMC$ und $MBC$. In ihnen sind die Basiswinkel gleich: Der Winkel $\alpha$ bei $A$ tritt auch bei $C$ auf, ebenso der Winkel $\beta$ bei $B$. Der Winkel bei $C$ ist also $\alpha + \beta$. Mit der Winkelsumme im Dreieck $ABC$:

Beispiele

Der Kreis um den Ursprung mit Radius $5$ hat den Durchmesser von $A(-5 \mid 0)$ nach $B(5 \mid 0)$. Der Punkt $C(3 \mid 4)$ liegt auf dem Kreis, denn $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$. Die Seiten des Dreiecks sind $\overline{AC} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80}$, $\overline{BC} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ und $\overline{AB} = 10$. Pythagoras bestätigt den rechten Winkel bei $C$:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $6\,\text{cm}$ und $8\,\text{cm}$, also die Hypotenuse $10\,\text{cm}$. Sein Umkreis hat den Radius:

Typische Fehler

• Den rechten Winkel bei $A$ oder $B$ suchen. Der rechte Winkel liegt immer bei dem Punkt $C$ auf dem Kreis, gegenüber dem Durchmesser.
• Den Satz für eine Sehne anwenden, die kein Durchmesser ist. Dann ist der Winkel bei $C$ nicht $90^\circ$.
• Beim Umkreis den Durchmesser mit dem Radius verwechseln: Die Hypotenuse ist der Durchmesser, der Radius ist ihre Hälfte.