Strahlensatz

Erklärung

Zwei Strahlen gehen vom selben Punkt $S$ aus. Sie werden von zwei parallelen Geraden geschnitten: die erste Parallele trifft sie in $A_1$ und $B_1$, die zweite in $A_2$ und $B_2$. Die Parallelität ist die entscheidende Voraussetzung, ohne sie gelten die Strahlensätze nicht.

Erster Strahlensatz (die Formel oben): Die Strecken ab $S$ auf dem einen Strahl stehen im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Strecken ab $S$ auf dem anderen Strahl.

Zweiter Strahlensatz: Die Abschnitte auf den Parallelen stehen im gleichen Verhältnis wie die zugehörigen Strecken ab $S$:

Beide Sätze gelten auch, wenn sich zwei Geraden in $S$ kreuzen und die Parallelen auf verschiedenen Seiten von $S$ liegen (X-Figur statt V-Figur).

Der Grund: Die Dreiecke $SA_1B_1$ und $SA_2B_2$ sind ähnlich. Das große Dreieck ist eine maßstäbliche Vergrößerung des kleinen.

Beispiele

Gegeben sind $\overline{SA_1} = 4\,\text{cm}$, $\overline{SA_2} = 10\,\text{cm}$ und $\overline{SB_1} = 3\,\text{cm}$. Mit dem ersten Strahlensatz:

Ist in derselben Figur $\overline{A_1B_1} = 2\,\text{cm}$, folgt mit dem zweiten Strahlensatz:

Höhe eines Baumes: Man stellt einen $2\,\text{m}$ hohen Stab senkrecht so auf, dass die Spitze seines Schattens genau auf die Spitze des Baumschattens fällt. Dieser gemeinsame Punkt ist $S$. Der erste Strahl ist der Boden, der zweite der Sonnenstrahl, der über die Spitze des Stabes und die Spitze des Baumes läuft. Stab und Baum stehen beide senkrecht, sind also parallel. Der Schatten des Stabes ist $3\,\text{m}$ lang, der des Baumes $18\,\text{m}$. Mit dem zweiten Strahlensatz:

Typische Fehler

• Die Strahlensätze anwenden, obwohl die Geraden nicht parallel sind.
• Beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecke $\overline{A_1A_2}$ statt $\overline{SA_2}$ einsetzen. Die Strecken auf den Strahlen beginnen dort immer bei $S$.
• Brüche verschieden aufstellen: Steht links die längere Strecke im Zähler, muss das auch rechts so sein.