Flächeninhalt eines Kreisrings

Mittelstufe

A = \pi \left(r_a^2 - r_i^2\right)

Voraussetzung: $r_a > r_i \geq 0$

$A$: Flächeninhalt des Kreisrings
$r_a$: Radius des äußeren Kreises
$r_i$: Radius des inneren Kreises (des Lochs)
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Die Fläche eines Kreisrings ist die Fläche des äußeren Kreises minus die Fläche des inneren Kreises.

Kreisring zwischen dem äußeren Kreis mit Radius rₐ und dem inneren Kreis mit Radius rᵢ

Erklärung

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Man kann ihn sich als große Kreisscheibe vorstellen, aus der in der Mitte eine kleinere Scheibe ausgeschnitten wurde, wie bei einer Unterlegscheibe oder einer CD.

Deshalb rechnet man die Fläche des großen Kreises minus die Fläche des kleinen Kreises:

A = \pi r_a^2 - \pi r_i^2 = \pi \left(r_a^2 - r_i^2\right)

Mit der dritten binomischen Formel lässt sich das auch als $A = \pi (r_a + r_i)(r_a - r_i)$ schreiben.

Beispiele

Ein Kreisring hat den Außenradius $5\,\text{cm}$ und den Innenradius $3\,\text{cm}$ :

A = \pi \left(5^2 - 3^2\right)\,\text{cm}^2 = 16\pi\,\text{cm}^2 \approx 50{,}27\,\text{cm}^2

Eine CD hat einen Durchmesser von $12\,\text{cm}$ , das Loch in der Mitte einen Durchmesser von $4\,\text{cm}$ . Zuerst die Radien bestimmen: $r_a = 6\,\text{cm}$ und $r_i = 2\,\text{cm}$ .

A = \pi \left(6^2 - 2^2\right)\,\text{cm}^2 = 32\pi\,\text{cm}^2 \approx 100{,}53\,\text{cm}^2

Typische Fehler

Erst die Radien subtrahieren und dann quadrieren: $\pi (r_a - r_i)^2 \neq \pi (r_a^2 - r_i^2)$ . Im ersten Beispiel ergäbe das $4\pi$ statt $16\pi$ .
Durchmesser statt Radien einsetzen. Das liefert das Vierfache der richtigen Fläche.
Die Klammer vergessen: $\pi r_a^2 - r_i^2$ zieht nur $r_i^2$ ab, nicht $\pi r_i^2$ .

Flächeninhalt eines Kreisrings