Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks

Mittelstufe

A = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$a$: Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite a hat den Flächeninhalt a² geteilt durch 4 mal Wurzel aus 3.

Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a und dem Flächeninhalt A

Erklärung

Bei einem gleichseitigen Dreieck reicht die Seitenlänge $a$ , um den Flächeninhalt zu berechnen. Man muss die Höhe nicht erst einzeln bestimmen; sie steckt schon in der Formel.

Der Faktor $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}433$ ist für alle gleichseitigen Dreiecke gleich.

Herleitung

Die allgemeine Dreiecksformel ist $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ . Im gleichseitigen Dreieck ist die Grundseite $g = a$ und die Höhe $h = \frac{a}{2}\sqrt{3}$ :

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2}\sqrt{3} = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}

Beispiele

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $6\,\text{cm}$ :

A = \frac{6^2}{4}\sqrt{3}\,\text{cm}^2 = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 15{,}59\,\text{cm}^2

Ein dreieckiges Verkehrsschild hat die Seitenlänge $10\,\text{dm}$ :

A = \frac{10^2}{4}\sqrt{3}\,\text{dm}^2 = 25\sqrt{3}\,\text{dm}^2 \approx 43{,}3\,\text{dm}^2

Typische Fehler

Durch $2$ statt durch $4$ teilen. Das ergibt das Doppelte, im ersten Beispiel $31{,}18\,\text{cm}^2$ statt $15{,}59\,\text{cm}^2$ .
Die Seitenlänge nicht quadrieren: $\frac{a}{4}\sqrt{3}$ ist keine Fläche.
Die Formel für gleichschenklige Dreiecke verwenden. Dort sind nicht alle Seiten gleich, man braucht $A = \frac{1}{2} g h$ .

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks