Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks

Mittelstufe

A = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$A$: Flächeninhalt des Sechsecks
$a$: Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, seine Fläche ist 3/2 · a² · √3.

Regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a, zerlegt in sechs gleichseitige Dreiecke

Erklärung

Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs gleich lange Seiten und sechs gleich große Innenwinkel von je $120^\circ$ . Verbindet man den Mittelpunkt mit allen Ecken, zerfällt es in sechs gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge $a$ . Der Abstand vom Mittelpunkt zu jeder Ecke ist deshalb auch $a$ .

Solche Sechsecke findet man z.B. bei Bienenwaben, Fliesen und Schraubenmuttern.

Herleitung

Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite $a$ hat die Fläche $\frac{a^2}{4}\sqrt{3}$ . Sechs davon ergeben:

A = 6 \cdot \frac{a^2}{4}\sqrt{3} = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3}

Beispiele

Ein regelmäßiges Sechseck hat die Seitenlänge $2\,\text{cm}$ :

A = \frac{3}{2} \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}\,\text{cm}^2 = 6\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 10{,}39\,\text{cm}^2

Eine sechseckige Bodenfliese hat die Seitenlänge $5\,\text{cm}$ :

A = \frac{3}{2} \cdot 5^2 \cdot \sqrt{3}\,\text{cm}^2 = 37{,}5\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 64{,}95\,\text{cm}^2

Typische Fehler

Nur ein Dreieck berechnen und das Mal-6 vergessen. Im ersten Beispiel käme $1{,}73\,\text{cm}^2$ statt $10{,}39\,\text{cm}^2$ heraus.
Die Formel auf unregelmäßige Sechsecke anwenden. Sie gilt nur, wenn alle Seiten und alle Winkel gleich sind.
Die Seitenlänge mit dem Abstand zweier gegenüberliegender Seiten (der Schlüsselweite) verwechseln. Diese ist $a\sqrt{3}$ , nicht $a$ .

Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks