Umkreisradius eines Dreiecks

Oberstufe

R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4A}

Voraussetzung: $0^\circ < \alpha < 180^\circ$

$R$: Radius des Umkreises
$a, b, c$: Seitenlängen des Dreiecks
$\alpha$: Winkel gegenüber der Seite a
$A$: Flächeninhalt des Dreiecks

Der Umkreisradius folgt aus einer Seite und dem gegenüberliegenden Winkel oder aus allen drei Seiten und der Fläche.

Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel α, dazu der Umkreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R

Erklärung

Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle drei Ecken. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt er innen, bei rechtwinkligen auf der Mitte der Hypotenuse, bei stumpfwinkligen außerhalb.

Die erste Form ist der erweiterte Sinussatz: Für jedes Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel gilt

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R

Die zweite Form braucht nur die Seiten und die Fläche, die man z.B. mit dem Satz des Heron berechnet.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist $R$ die halbe Hypotenuse. Das ist der Satz des Thales.

Herleitung

Setzt man die Flächenformel $A = \frac{1}{2} bc \sin \alpha$ in die zweite Form ein, kürzen sich $b$ und $c$ :

\frac{abc}{4 \cdot \frac{1}{2} bc \sin \alpha} = \frac{a}{2 \sin \alpha}

Beispiele

Rechtwinkliges Dreieck mit $3$ , $4$ , $5$ (in cm) und $A = 6\,\text{cm}^2$ :

R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5\,\text{cm}

Das ist genau die halbe Hypotenuse.

Gleichseitiges Dreieck mit $a = 6\,\text{cm}$ , alle Winkel $60^\circ$ :

R = \frac{6}{2 \sin 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\,\text{cm}

Dreieck mit $5$ , $5$ , $6$ (in cm) und $A = 12\,\text{cm}^2$ : $R = \frac{150}{48} = 3{,}125\,\text{cm}$ .

Typische Fehler

Einen Winkel nehmen, der nicht gegenüber der verwendeten Seite liegt.
Durch $2A$ statt durch $4A$ teilen.
Den Umkreismittelpunkt über die Winkelhalbierenden suchen. Das liefert den Inkreismittelpunkt.

Umkreisradius eines Dreiecks